Різницеві рівняння

Різницеве рівняння — рівняння, що зв'язує значення деякої невідомої функції в будь-якій точці з її значенням в одній або декількох точках, віддалених від даної на певний інтервал. Застосовується для опису дискретних систем.

Приклади

• Найвідоміший приклад — це рекурентне рівняння гамма-функції

  ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z).}$

Слід пам'ятати, що Гамма-функція - не єдине рішення цього різницевого рівняння. Наприклад, функція ${\displaystyle \sin {(2\pi z})\cdot \Gamma (z)}$ також задовольняє цьому рівнянню.

Властивості

• Різницеве рівняння можна подати як диференціальне рівняння нескінченного порядку, в силу тотожності

  ${\displaystyle F(z+a)=\exp \left(a\,{\frac {d}{dz}}\right)F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{n}\,F^{(n)}}{n!}}=F(z)+a\,F'(z)+{\frac {a^{2}\,F''(z)}{2}}\dots .}$

Див. також

• Лінійна рекурентна послідовність — розв’язок найпростішого типу різницевого рівняння.
• Різницева схема