Рівняння Релея — Плессета

У гідромеханіці, рівняння Релея-Плессета являє собою звичайне диференціальне рівняння, яке визначає динаміку сферичної бульбашки в нескінченному об'ємі рідини. Загальний вигляд цього рівняння записується таким чином:

Рівняння Релея-Плессета часто застосовуються для вивчення кавітаційних бульбашок.

${\displaystyle {\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2S}{\rho _{L}R}}}$

де

${\displaystyle P_{B}(t)}$ — тиск всередині бульбашки

${\displaystyle P_{\infty }(t)}$ — зовнішній тиск, джерело якого знаходиться нескінченно далеко від бульбашки

${\displaystyle \rho _{L}}$ — густина навколишньої рідини, яка є константою

${\displaystyle R(t)}$ — радіус бульбашки

${\displaystyle \nu _{L}}$ — кінематична в'язкість навколишньої рідини, яка є константою

${\displaystyle S}$ — поверхневий натяг бульбашки

За умов, що ${\displaystyle P_{B}(t)}$ відомий і ${\displaystyle P_{\infty }(t)}$ заданий, рівняння Релея–Плессета може бути використане для знаходження для мінливого у часі радіуса бульбашки ${\displaystyle R(t)}$.

Рівняння Релея–Плессета отримується з рівнянь Нав'є–Стокса при припущенні сферичної симетрії. Без урахування поверхневого натягу і в'язкості, рівняння вперше було отримано Релеєм у 1917 році. Рівняння було вперше було застосовано на так званих кавітаційних бульбашок з Плессетом в 1949 році.

Отримання

Рівняння Релея-Плессета може бути отримано з першооснов, використовуючи радіус бульбашки як динамічний параметр. Розглянемо сферичну бульбашку з радіусом, який залежить від часу, ${\displaystyle R(t)}$, де ${\displaystyle t}$ — час. Припустимо, що бульбашка містить рівномірно розподілений всередині газ/пар з однаковою всюди температурою ${\displaystyle T_{B}(t)}$ і тиском ${\displaystyle P_{B}(t)}$. Поза бульбашкою знаходиться нескінченний простір рідини, яка має густину ${\displaystyle \rho _{L}}$ і в'язкість ${\displaystyle \mu _{L}}$. Позначимо температуру і тиск, джерела яких знаходяться далеко від бульбашки, як ${\displaystyle T_{\infty }}$ і ${\displaystyle P_{\infty }(t)}$ відповідно, де ${\displaystyle T_{\infty }}$ — константа. При зміні радіальної відстані ${\displaystyle r}$ від центру бульбашки, змінюються властивості рідини, такі як тиск ${\displaystyle P(r,t)}$, температура ${\displaystyle T(r,t)}$, і радіальна швидкість ${\displaystyle u(r,t)}$. Зауважимо, що властивості рідини визначені тільки поза бульбашкою, при ${\displaystyle r\geq R(t)}$.

Збереження маси

Через закон збереження маси, закон обернених квадратів вимагає, щоб радіальна швидкість ${\displaystyle u(r,t)}$ була обернено пропорційна квадрату відстані від джерела (в центрі бульбашки). Нехай ${\displaystyle F(t)}$ — деяка функція часу,

${\displaystyle u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}}$

У випадку перенесення нульової маси через поверхню бульбашки, швидкість всередині повинна бути

${\displaystyle u(R,t)={\frac {dR}{dt}}={\frac {F(t)}{R^{2}}}}$

що дає

${\displaystyle F(t)=R^{2}dR/dt}$

У разі, коли відбувається перенесення маси, швидкість збільшення маси всередині бульбашки визначається як

${\displaystyle {\frac {dm_{V}}{dt}}=\rho _{V}{\frac {dV}{dt}}=\rho _{V}{\frac {d(4\pi R^{3}/3)}{dt}}=4\pi \rho _{V}R^{2}{\frac {dR}{dt}}}$

з ${\displaystyle V}$ — об'єм бульбашки. Якщо ${\displaystyle u_{L}}$ — швидкість рідини відносно бульбашки на ${\displaystyle r=R}$, тоді масове входження в бульбашку визначається як

${\displaystyle {\frac {dm_{L}}{dt}}=\rho _{L}Au_{L}=\rho _{L}(4\pi R^{2})u_{L}}$

з ${\displaystyle A}$ — поверхня бульбашки. Тепер, використовуючи закон збереження маси ${\displaystyle dm_{v}/dt=dm_{L}/dt}$ отримаємо ${\displaystyle u_{L}=(\rho _{V}/\rho _{L})dR/dt}$. Звідси

${\displaystyle u(R,t)={\frac {dR}{dt}}-u_{L}={\frac {dR}{dt}}-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}{\frac {dR}{dt}}=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right){\frac {dR}{dt}}}$

Тут

${\displaystyle F(t)=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right)R^{2}{\frac {dR}{dt}}}$

У багатьох випадках, густина рідини значно перевищує густину пару, ${\displaystyle \rho _{L}\gg \rho _{V}}$, так що ${\displaystyle F(t)}$ можна апроксимувати як вихідну форму передачі нульової маси ${\displaystyle F(t)=R^{2}dR/dt}$, так що

${\displaystyle u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}={\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}}$

Збереження імпульсу

Припускаючи, що рідина є ньютонівською, в нестискуване рівняння Нав'є–Стокса в сферичних координатах для руху в радіальному напрямку дає

${\displaystyle \rho _{L}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)=-{\frac {\partial P}{\partial r}}+\mu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]}$

Підставляючи в'язкість ${\displaystyle \nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}}$, отримуємо

${\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}-\nu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]}$

Підставимо величину ${\displaystyle u(r,t)}$ зі збереження маси, отримаємо

${\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {2R}{r^{2}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}={\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}$

Зауважимо, що в'язкість не враховуються під час заміни. Відокремимо змінні та зінтегруємо вище наведений вираз від границі бульбашки ${\displaystyle r=R}$ до ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$, отримуємо

${\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}\int _{P(R)}^{P_{\infty }}dP=\int _{R}^{\infty }\left[{\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}\right]dr}$

${\displaystyle {{\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}=\left[-{\frac {1}{r}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)+{\frac {R^{4}}{2r^{4}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}\right]_{R}^{\infty }=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}}$

Граничні умови

Позначимо ${\displaystyle \sigma _{rr}}$ як нормальне напруження в рідині, що спрямоване радіально назовні з центру бульбашки. У сферичних координатах, для рідини з постійною густиною і постійною в'язкістю, напруження має вигляд:

${\displaystyle \sigma _{rr}=-P+2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}}$

Внаслідок чого, в якійсь невеликій частині поверхні бульбашки, сила на одиницю площі, діючи на плівку, має вигляд

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}(R)+P_{B}-{\frac {2S}{R}}&=-P(R)+\left.2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right|_{r=R}+P_{B}-{\frac {2S}{R}}\\&=-P(R)+2\mu _{L}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}\right)_{r=R}+P_{B}-{\frac {2S}{R}}\\&=-P(R)-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+P_{B}-{\frac {2S}{R}}\\\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle S}$ — поверхневий натяг. Якщо перенесення через границю відсутнє, то ця сила на одиницю площі повинна бути рівна нулю, тому

${\displaystyle P(R)=P_{B}-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}-{\frac {2S}{R}}}$

і в результаті збереження імпульсу

${\displaystyle {\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}={\frac {P_{B}-P_{\infty }}{\rho _{L}}}-{\frac {4\mu _{L}}{\rho _{L}R}}{\frac {dR}{dt}}-{\frac {2S}{\rho _{L}R}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}$

В результаті підстановки ${\displaystyle \nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}}$ у вище наведений вираз дає нам рівняння Релея–Плессета

${\displaystyle {\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2S}{\rho _{L}R}}}$

Використовуючи точкове позначення для запису похідних по часу, рівняння Релея–Плессета можна записати більш точно

${\displaystyle {\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\ddot {R}}+{\frac {3}{2}}({\dot {R}})^{2}+{\frac {4\nu _{L}{\dot {R}}}{R}}+{\frac {2S}{\rho _{L}R}}}$

Розв'язки

Нещодавно, були знайдені для рівняння Релея-Плессета для порожньої і газонаповненої бульбашки аналітичні розв'язки у замкнутій формі and were generalized to the N-dimensional case.. Також були проаналізовані розв'язки у випадку, коли У поверхневий натяг присутній через ефект капілярності.

Також відомі для особливих випадків, коли поверхневий натяг і в'язкість не враховується, вищі порядки апроксимації.

У статичному випадку, рівняння Релея–Плессета спрощується, внаслідок чого виникає рівняння Юнга-Лапласа:

${\displaystyle P_{B}-P_{\infty }={\frac {2S}{R}}}$

Посилання

1. Rayleigh, Lord (1917). On the pressure developed in a liquid during the collapse of a spherical cavity. Phil. Mag. 34: 94—98. doi:10.1080/14786440808635681.
2. Plesset, M.S. (1949). The dynamics of cavitation bubbles. ASME J. Appl. Mech. 16: 228—231.
3. Leighton, T. G. (17 квітня 2007). Derivation of the Rayleigh–Plesset equation in terms of volume. Southampton, UK: Institute of Sound and Vibration Research.
4. Lin, Hao; Brian D. Storey; Andrew J. Szeri (2002). . Journal of Fluid Mechanics. 452. doi:10.1017/S0022112001006693. ISSN 0022-1120. Архів оригіналу за 8 червня 2019. Процитовано 19 квітня 2020.
5. Brennen, Christopher E. (1995). Cavitation and Bubble Dynamics. Oxford University Press. ISBN .
6. Kudryashov, Nikolay A.; Sinelshchikov, Dnitry I. (18 вересня 2014). Analytical solutions of the Rayleigh equation for empty and gas-filled bubble. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 47: 405202. arXiv:1409.6699v1. Bibcode:2014JPhA...47N5202K. doi:10.1088/1751-8113/47/40/405202.
7. Kudryashov, Nikolay A.; Sinelshchikov, Dnitry I. (31 грудня 2014). Analytical solutions for problems of bubble dynamics. Physics Letters A. 379: 798—802. arXiv:1608.00811. Bibcode:2016arXiv160800811K. doi:10.1016/j.physleta.2014.12.049.
8. Mancas, Stefan C.; Rosu, Haret C. (7 серпня 2015). Cavitation of spherical bubbles: closed-form, parametric, and numerical solutions. Physics of Fluids. 28: 022009. arXiv:1508.01157. Bibcode:2016PhFl...28b2009M. doi:10.1063/1.4942237.
9. Obreschkow, D.; Bruderer M.; Farhat, M. (5 червня 2012). Analytical approximations for the collapse of an empty spherical bubble. Physical Review E. 85. arXiv:1205.4202. Bibcode:2012PhRvE..85f6303O. doi:10.1103/PhysRevE.85.066303.

Джерела

• Савула Я. Метод скінченних елементів (окремі сторінки посібника 1993 р. pdf)
• Шинкаренко Г. Чисельні методи математичної фізики (окремі сторінки чорновика посібника pdf)