Рівняння Гамільтона

Гамільто́нова меха́ніка — одне з формулювань законів механіки, загалом аналогічне законам Ньютона, але зручне для узагальнень, використання в статистичній фізиці й для переходу до квантової механіки.

Функція Гамільтона

Докладніше: Функція Гамільтона

Функція Гамільтона ${\displaystyle {\mathcal {H}}(q_{i},p_{i},t)\,}$ визначається через узагальнені координати ${\displaystyle q_{i}\,}$ і узагальнені імпульси ${\displaystyle p_{i}\,}$ виходячи з функції Лагранжа ${\displaystyle {\mathcal {L}}(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)\,}$ наступним чином:

Узагальнені імпульси вводяться як

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$.

Функція Гамільтона визначається формулою

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\mathcal {L}}}$.

Після цього всі узагальнені швидкості ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ в ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ виражаються через узагальнені імпульси й координати.

За своєю суттю функція Гамільтона є енергією системи, вираженою через координати й імпульси.

У випадку стаціонарних зв'язків і потенційних зовнішніх сил

${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V\,}$,

тобто функція Гамільтона є сумою потенційної і кінетичної енергій, але при цьому кінетична енергія повинна бути виражена через імпульси, а не через швидкості.

Канонічні рівняння Гамільтона

Рівняння еволюції динамічної системи записуються в Гамільтоновій механіці у вигляді

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}}$,

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}}$.

Ці рівняння називаються канонічними рівняннями Гамільтона. Вони повністю визначають еволюцію системи з часом у тому сенсі, що знаючи значення узагальнених координат і швидкостей в певний початковий момент часу, можна визначити їхні значення в будь-який наступний момент часу, розв'язуючи дану систему рівнянь.

Практичні використання

Функція Гамільтона для заряду в електромагнітному полі

Загалом сила Лоренца не є потенціальною силою, оскільки залежить від швидкості руху заряду. Проте її можна включити в Гамільтонову механіку записавши функцію Гамільтона зарядженої частинки в наступній формі (гаусова система одиниць):

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {(\mathbf {p} -e\mathbf {A} /c)^{2}}{2m}}+e\varphi }$

де ${\displaystyle e}$ — заряд частинки, ${\displaystyle \varphi }$ — електростатичний потенціал, ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — векторний потенціал.

В релятивістському випадку:

${\displaystyle {\mathcal {H}}=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+(\mathbf {p} -e\mathbf {A} /c)^{2}}}+e\varphi }$.

Функція Гамільтона в теорії відносності

Функцію Гамільтона у релятивістському випадку можна отримати шляхом стандартної процедури, знаючи функцію Лагранжа ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ (див. "Механіку" Ландау):

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\mathbf {v} {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}-{\mathcal {L}}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Як видно, її вираз повністю збігається із виразом для потенціальної енергії релятивістської частки, і не залежить у явній формі від імпульса. Знаючи релятивістський імпульс, цей вираз можна переписати у вигляді квадратичної форми:

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}=c^{2}(p^{2}+m^{2}c^{2})}$,

з якої і отримуємо загальновизнаний вираз для функції Гамільтона:

${\displaystyle {\mathcal {H}}=c{\sqrt {p^{2}+mc^{2}}}}$.

Цей вираз для функції Гамільтона широко використовується в класичній та квантовій механіці.

Використання у квантовій механіці

У квантовій механіці оператор енергії ${\displaystyle {\hat {H}}}$ будується із класичної функції Гамільтона заміною узагальнених імпульсів ${\displaystyle p_{i}}$ на оператори імпульсу ${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial q_{i}}}}$, де ${\displaystyle \hbar }$ -- зведена стала Планка. Такий оператор називається гамільтоніаном, а процедура переходу від функції Гамільтона до гамільтоніану називається процедурою квантування.

Гамільтоніан є головним оператором у квантовій механіці, оскільки входить в головне рівняння квантової механіки — рівняння Шредінгера.

Механічний осцилятор

У випадку класичного механічного осцилятора (без тертя) функція Гамільтона має такий вигляд:

${\displaystyle {\mathcal {H}}(x,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {kx^{2}}{2}}={\frac {m{\dot {x}}^{2}}{2}}+{\frac {kx^{2}}{2}}}$

де ${\displaystyle k-}$ коефіцієнт жорсткості, а ${\displaystyle m-}$ маса тіла.

Перше диференційне рівняння Гамільтона буде:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}={\frac {p}{m}}}$,

Друге диференційне рівняння Гамільтона має вигляд:

${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial x}}=-kx}$,

Звідси можна отримати рівняння руху:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+kx=0}$.

Можна також привести значення "дії" на проміжку одного періоду коливань:

${\displaystyle S=-\int _{0}^{T}{\mathcal {H}}(x,p,t)\,dt={\frac {1}{2}}ma^{2}\omega ^{2}T,}$

де ${\displaystyle a-}$ амплітуда коливань, ${\displaystyle \omega ={\sqrt {k/m}}-}$ циклічна частота, а ${\displaystyle T=2\pi /\omega -}$ період.

Електричний осцилятор

Для класичного ${\displaystyle LC-}$ контуру функція Гамільтона має вигляд:

${\displaystyle {\mathcal {H}}(q,p_{M},t)={\frac {p_{M}^{2}}{2L}}+{\frac {q^{2}}{2C}}}$

де ${\displaystyle p_{M}=L{\dot {q}}-}$ "магнітний імпульс" (фактично - магнітний потік).

Можна також привести значення "дії" на проміжку одного періоду коливань:

${\displaystyle S=-\int _{0}^{T}{\mathcal {H}}(x,p_{M},t)\,dt={\frac {1}{2}}Lq_{0}^{2}\omega ^{2}T,}$

де ${\displaystyle q_{0}-}$ амплітудне значення заряду, ${\displaystyle \omega ={\sqrt {1/LC}}-}$ циклічна частота, а ${\displaystyle T=2\pi /\omega -\ }$ період коливань.

Див. також

• Механіка Лагранжа
• Рівняння Гамільтона-Якобі
• Дужки Пуассона

Джерела

• Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
• Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К. : Вища школа, 1975. — 516 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2007. — Т. 1. — 224 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2006. — Т. 2. — 536 с.
• тер Хаар Д. Основы гамильтоновой механики. — М. : Наука, 1974. — 224 с.