Розклад Холецького — представлення симетричної додатноозначеної матриці у вигляді де — нижня трикутна матриця з додатніми елементами на діагоналі.
Для симетричних матриць розклад Холецького завжди існує і, для додатноозначених матриць, він єдиний. Для невід'ємновизначених матриць розклад не єдиний.
Для матриць з комплексними елементами: якщо — додатноозначена ермітова матриця, то існує розклад
Розклад названий в честь французького математика [en] (1875-1918).
Алгоритм
Елементи матриці можна обчислити, починаючи з верхнього лівого кута, за формулами:
- , якщо .
Вираз під коренем завжди додатній, якщо — дійсна додатновизначена матриця.
Для комплекснозначних ермітових матриць використовуються формули:
- , якщо .
LDL-розклад
Пов'язаним із розкладом Холецького є LDL-розклад:
де — одинична нижня трикутна матриця; — діагональна матриця.
- , якщо .
Застосування
Розклад Холецького може застосовуватись для розв'язку системи лінійних рівнянь з симетричною додатноозначеною матрицею. Такі матриці часто виникають, наприклад, при використанні методу найменших квадратів чи числовому розв'язуванні диференціальних рівнянь.
Виконавши розклад , розв'язок отримаємо послідовно розв'язавши дві трикутні СЛАР: та . Такий спосіб розв'язку називають методом квадратних коренів. Порівняно з загальнішими методами: метод Гауса чи LU-розклад матриці, він стійкіший і потребує вдвічі менше арифметичних операцій.
Джерела
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Rozklad Holeckogo predstavlennya simetrichnoyi dodatnooznachenoyi matrici u viglyadi A L L T displaystyle A LL T de L displaystyle L nizhnya trikutna matricya z dodatnimi elementami na diagonali Dlya simetrichnih matric rozklad Holeckogo zavzhdi isnuye i dlya dodatnooznachenih matric vin yedinij Dlya nevid yemnoviznachenih matric rozklad ne yedinij Dlya matric z kompleksnimi elementami yaksho A displaystyle A dodatnooznachena ermitova matricya to isnuye rozklad A L L displaystyle A LL Rozklad nazvanij v chest francuzkogo matematika en 1875 1918 AlgoritmElementi matrici L displaystyle L mozhna obchisliti pochinayuchi z verhnogo livogo kuta za formulami L i i A i i k 1 i 1 L i k 2 displaystyle L ii sqrt A ii sum k 1 i 1 L ik 2 L i j 1 L j j A i j k 1 j 1 L i k L j k displaystyle L ij frac 1 L jj left A ij sum k 1 j 1 L ik L jk right yaksho j lt i displaystyle j lt i Viraz pid korenem zavzhdi dodatnij yaksho A displaystyle A dijsna dodatnoviznachena matricya Dlya kompleksnoznachnih ermitovih matric vikoristovuyutsya formuli L i i A i i k 1 i 1 L i k L i k displaystyle L ii sqrt A ii sum k 1 i 1 L ik L i k L i j 1 L j j A i j k 1 j 1 L i k L j k displaystyle L ij frac 1 L jj left A ij sum k 1 j 1 L ik L jk right yaksho j lt i displaystyle j lt i LDL rozkladPov yazanim iz rozkladom Holeckogo ye LDL rozklad A L D L T displaystyle A LDL T de L displaystyle L odinichna nizhnya trikutna matricya D displaystyle D diagonalna matricya D j A j j k 1 j 1 L j k 2 D k displaystyle D j A jj sum k 1 j 1 L jk 2 D k L i j 1 D j A i j k 1 j 1 L i k L j k D k displaystyle L ij frac 1 D j left A ij sum k 1 j 1 L ik L jk D k right yaksho j lt i displaystyle j lt i ZastosuvannyaRozklad Holeckogo mozhe zastosovuvatis dlya rozv yazku sistemi linijnih rivnyan A x b displaystyle Ax b z simetrichnoyu dodatnooznachenoyu matriceyu Taki matrici chasto vinikayut napriklad pri vikoristanni metodu najmenshih kvadrativ chi chislovomu rozv yazuvanni diferencialnih rivnyan Vikonavshi rozklad A L L T displaystyle A LL T rozv yazok x displaystyle x otrimayemo poslidovno rozv yazavshi dvi trikutni SLAR L y b displaystyle Ly b ta L T x y displaystyle L T x y Takij sposib rozv yazku nazivayut metodom kvadratnih koreniv Porivnyano z zagalnishimi metodami metod Gausa chi LU rozklad matrici vin stijkishij i potrebuye vdvichi menshe arifmetichnih operacij DzherelaGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi