Рахування китайськими паличками це математичний метод алгоритмічного розрахунку за допомогою рахункових паличок в Китаї починаючи з періоду ворогуючих країн до часів династії Мін. Потім рахункові палички були замінені більш швидким і зручним інструментом Абак. Рахування паличками відігравало ключову роль у розвитку китайської математики До часів самого високого його розвитку у Династії Сун і Династії Юань, що завершувалося винайденням алгебраїчних рівнянь до чотирьох невідомих, що описані в роботі Чжу Шицзе.
Інструмент
Основним обладнанням, яке необхідне для здійснення розрахунків із паличками, є набір із деякої кількості рахункових паличок і рахункова дошка. Рахункові палички зазвичай виготовляли із бамбуку, і вони були в 12 см- 15 см в довжину, і від 2 мм до 4 мм в діаметрі. Іноді їх виготовляли із кісток тварин, або слонової кістки чи нефриту. Як рахункову дошку могли використовувати стільницю, дерев'яну дошку із сіткою або без, підлогу або пісок.
Іще одним ключовим моментом, який був необхідний для рахування паличками була проста 45 кратна позиційна таблиця множення десяткових цифр, що використовувалася в Китаї із античних часів, і називалася [en], яку заучували напам'ять учні, торговці, китайські чиновники та математики.
Числа
Відображення цифр
Рахункові палички є єдиною системою чисел, яка використовує різні комбінації розташування одного символа, для вираження одного числа або дробу в десятковій системі. Для чисел в позиції одиниць, кожна вертикальна паличка представляє 1. Дві вертикальні палички означають 2, і так далі, до можливих 5 вертикальних паличок, які задають 5. Для чисел між 6 і 9, використовується бі-кванарна система, в якій горизонтальна риска поверх вертикальних представляє число 5. Перший рядок наведеного малюнку задає числа від 1 до 9 задані за допомогою рахункових паличок, а другий рядок задає ті самі числа в горизонтальній формі.
Для представлення чисел, що більші за 9, використовується десяткова система. Палички, що розміщуються на одну позицію лівіше від позиції одиниць представляють числа із множником 10. Для сотень, інша група паличок розміщується лівіше, що задають число із множником 100, і так далі. Як показано на наведеному малюнку, паличками у верхньому рядку задане число 231, де одна паличка на місці одиниць задає 1, три палички на позиції десятків задають 30, і дві палички на позиції сотень задають 200, що в сумі становить 231.
При розрахунках, на поверхні де розкладалися палички зазвичай не було сітки. Якщо у вигляді вертикальної форми паличками викласти послідовно числа два, три, і один, існує можливість переплутати із 51 або 24, як показано у другому і третьому рядку того ж малюнка. Аби уникнути плутанини, числа у сусідніх місцях розміщуються у вертикальній і горизонтальних формах по черзі, так що одиниці представлені у вертикальній формі, як показано у нижньому рядку малюнка.
Відображення нулів
За допомогою рахункових паличок, нулі представляють за допомогою пропуску пустого місця, що служить однаково як число і знакомісце для значення. На відміну від арабських чисел, тут не існує спеціального символу для представлення нуля. Як показано на малюнку, число нуль спеціально показано у як пропуск.
Від'ємні і додатні числа
Математики часів династії Сун використовували червоні палички, для представлення додатних чисел і чорні для від'ємних чисел. Однак, існував інших спосіб із додаванням косої лінії до останнього знаку аби показати, що число є від'ємним.
Десятковий дріб
В математичному трактаті Санззі використовувалася методологія десяткового дробу. Одиницею довжини була 1 чі,
1 чі=10цун, 1цун=10фен, 1фен=10лі, 1лі=10хао, 1хоу=10ху.
1 чі2цун3фен4лі5хао6ші7ху викладалося на рахунковій дошці наступним чином
де є одиниця вимірювання чі.
Математик південної династії Сун Цінь Цзюшао розширив використання десяткових дробів за межі метрології. У своєму [en]
він формально визначив 1.1446154 днів як
- 日
Він відмітив одиницю вимірювання числа словом “日”(день), написавши його знизу.
Додавання
Рахування паличками працює за принципом аддитивності. На відміну від арабських чисел, цифри представлені паличками мають адитивні властивості. Процес додавання передбачає механічне переміщення паличок без необхідності запам'ятовувати таблицю додаваня. Що є самою великою відмінністю від арабських чисел, оскільки не можливо механічно скласти числа 1 і 2 разом аби утворилося число 3, або 2 і 3 разом аби утворилося число 5.
Наведений малюнок показує кроки додавання числа 3748 до 289:
- Розмістимо перше число 3748 у перший рядок, а 289 у другий.
- Розрахунок ведеться з ЛІВА на ПРАВО, спершу від цифри 2 числа 289.
- Заберіть дві палички знизу і додайте до 7 що зверху, аби утворилося 9.
- Перемістіть 2 палички зверху до нижніх 8, перемістіть одну вперед до 9, що стане нулем і перенесіть до числа 3 аби утворилося 4, уберіть 8 із нижнього рядка.
- Перемістіть одну паличку із 8 верхнього рядку до 9 на нижньому аби утворити одиницю, яка буде перенесена на наступний порядок і додайте одну паличку до 2 паличок у верхньому рядку аби утворилося 3 палички, у верхньому рядку залишилась 7.
- Результатом є 3748+289=4037
Перше число змінилося внаслідок додавання, в той час як палички нижнього рядка "зникли".
Віднімання
Без позичання
У випадку коли не потрібно [en], необхідно просто перенести кількість паличок від'ємника із зменшуваного. Результатом розрахунку є різниця. На малюнку поруч показані кроки віднімання числа 23 із 54.
Позичання
У випадку коли необхідно застосувати процедуру позичання із старшого розрядку, як наприклад для 4231-789, необхідно виконати більш складну процедуру. Кроки для цього прикладу показані ліворуч.
- Розмістіть зменшуване число 4231 зверху, а від'ємник 789 знизу. Розрахунок ведеться зліва на право.
- Запозичимо 1 із позиції тисяч для десяти у позиції сотень, віднімемо 7 із нижнього рядка, різницю 3 додамо до числа 2 зверху, так що утвориться 5. Число 7 знизу було віднято, що видно із пустого місця.
- Запозичимо 1 із позиції сотень, де залишиться 4. Віднімання від перенесеного числа 10 у десятковому розряді числа 8, що знизу, дає результат 2, який додається до 3 зверху, що утворює 5. Верхній рядок тепер дорівнює 3451, нижній 9.
- Запозичимо 1 із 5 у десятковому розряді зверху, залишиться 4. Від запозиченої 1 із десяткового розряду буде 10 в розряді одиниць, віднімаючи 9 отримаємо 1, яку потім додаємо до верхнього числа і отримаємо 2. Після того, як усі палички нижнього рядка були відняті, у верхньому рядку отримаємо 3442, що є результатом розрахунку
Множення
Алгоритм множення детально описується у трактаті [en]. Ліворуч на малюнку показані кроки розрахунку множення 38×76:
- Розмістіть один із множників зверху, а другий знизу. Розмістіть числа так, що одиниці нижнього числа будуть вирівняні із найстаршим розрядом верхнього числа. Залиште місце по середині для фіксації дій.
- Розпочніть розрахунок із старшого розряду першого множника. Відповідно до таблиці множення 3 на 7 дорівнює 21. Розмістіть число 21 у вигляді паличок по середині, так що 1 вирівняно під десятими другого множника (над 7). Після чого, 3 на 6 дорівнює 18, розмістіть 18 як показано на малюнку. З тим як 3 верхнього множника була повністю помножена, приберіть ці палички з дошки.
- Пересуньте нижній множник на одну позицію праворуч. Змініть палички, так що 7 буде в горизонтальній формі, а 6 в вертикальній.
- 8×7 = 56, розмістіть 56 в другому рядку по середині, так що одиниці вирівняно відповідно із цифрами, що були помножені у нижньому множнику. Уберіть 7 із нижнього множника, оскільки її було повністю помножено.
- 8×6 = 48, додавання 4 до 6 із останнього кроку дає 10, перенесіть 1 вверх. Уберіть 8 із позиції одиниць у верхньому множнику, і уберіть 6 з позиції одиниць в нижньому множнику.
- Сума чисел 2380 і 508, що по середині дає результат добутку, що дорівнює 2888.
Див. також
- Рахункові палички
- [en]
Примітки
- Ronan and Needham, The Shorter Science and Civilisation in China, vol 2, Chapter 1, Mathematics
- *Ho Peng Yoke, Li, Qi and Shu
- Lam Lay Yong, p87-88
- Lam Lay Yong(蓝丽蓉) Ang Tian Se(洪天赐), Fleeting Footsteps, World Scientific
- Jean Claude Martzloff, A History of Chinese Mathematics
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Rahuvannya kitajskimi palichkami ce matematichnij metod algoritmichnogo rozrahunku za dopomogoyu rahunkovih palichok v Kitayi pochinayuchi z periodu voroguyuchih krayin do chasiv dinastiyi Min Potim rahunkovi palichki buli zamineni bilsh shvidkim i zruchnim instrumentom Abak Rahuvannya palichkami vidigravalo klyuchovu rol u rozvitku kitajskoyi matematiki Do chasiv samogo visokogo jogo rozvitku u Dinastiyi Sun i Dinastiyi Yuan sho zavershuvalosya vinajdennyam algebrayichnih rivnyan do chotiroh nevidomih sho opisani v roboti Chzhu Shicze Yaponska rahuvalna doshka iz sitkoyuRahuvannya palichkami print iz Enciklopediyi YunleInstrumentOsnovnim obladnannyam yake neobhidne dlya zdijsnennya rozrahunkiv iz palichkami ye nabir iz deyakoyi kilkosti rahunkovih palichok i rahunkova doshka Rahunkovi palichki zazvichaj vigotovlyali iz bambuku i voni buli v 12 sm 15 sm v dovzhinu i vid 2 mm do 4 mm v diametri Inodi yih vigotovlyali iz kistok tvarin abo slonovoyi kistki chi nefritu Yak rahunkovu doshku mogli vikoristovuvati stilnicyu derev yanu doshku iz sitkoyu abo bez pidlogu abo pisok Ishe odnim klyuchovim momentom yakij buv neobhidnij dlya rahuvannya palichkami bula prosta 45 kratna pozicijna tablicya mnozhennya desyatkovih cifr sho vikoristovuvalasya v Kitayi iz antichnih chasiv i nazivalasya en yaku zauchuvali napam yat uchni torgovci kitajski chinovniki ta matematiki ChislaVidobrazhennya cifr Dvi formi kitajskih palichkovih cifrPredstavlennya chisla 231 i mozhlivi omanlivi varianti roztashuvannya palichok Rahunkovi palichki ye yedinoyu sistemoyu chisel yaka vikoristovuye rizni kombinaciyi roztashuvannya odnogo simvola dlya virazhennya odnogo chisla abo drobu v desyatkovij sistemi Dlya chisel v poziciyi odinic kozhna vertikalna palichka predstavlyaye 1 Dvi vertikalni palichki oznachayut 2 i tak dali do mozhlivih 5 vertikalnih palichok yaki zadayut 5 Dlya chisel mizh 6 i 9 vikoristovuyetsya bi kvanarna sistema v yakij gorizontalna riska poverh vertikalnih predstavlyaye chislo 5 Pershij ryadok navedenogo malyunku zadaye chisla vid 1 do 9 zadani za dopomogoyu rahunkovih palichok a drugij ryadok zadaye ti sami chisla v gorizontalnij formi Dlya predstavlennya chisel sho bilshi za 9 vikoristovuyetsya desyatkova sistema Palichki sho rozmishuyutsya na odnu poziciyu livishe vid poziciyi odinic predstavlyayut chisla iz mnozhnikom 10 Dlya soten insha grupa palichok rozmishuyetsya livishe sho zadayut chislo iz mnozhnikom 100 i tak dali Yak pokazano na navedenomu malyunku palichkami u verhnomu ryadku zadane chislo 231 de odna palichka na misci odinic zadaye 1 tri palichki na poziciyi desyatkiv zadayut 30 i dvi palichki na poziciyi soten zadayut 200 sho v sumi stanovit 231 Pri rozrahunkah na poverhni de rozkladalisya palichki zazvichaj ne bulo sitki Yaksho u viglyadi vertikalnoyi formi palichkami viklasti poslidovno chisla dva tri i odin isnuye mozhlivist pereplutati iz 51 abo 24 yak pokazano u drugomu i tretomu ryadku togo zh malyunka Abi uniknuti plutanini chisla u susidnih miscyah rozmishuyutsya u vertikalnij i gorizontalnih formah po cherzi tak sho odinici predstavleni u vertikalnij formi yak pokazano u nizhnomu ryadku malyunka Vidobrazhennya nuliv Za dopomogoyu rahunkovih palichok nuli predstavlyayut za dopomogoyu propusku pustogo miscya sho sluzhit odnakovo yak chislo i znakomisce dlya znachennya Na vidminu vid arabskih chisel tut ne isnuye specialnogo simvolu dlya predstavlennya nulya Yak pokazano na malyunku chislo nul specialno pokazano u yak propusk Vid yemni i dodatni chisla Matematiki chasiv dinastiyi Sun vikoristovuvali chervoni palichki dlya predstavlennya dodatnih chisel i chorni dlya vid yemnih chisel Odnak isnuvav inshih sposib iz dodavannyam kosoyi liniyi do ostannogo znaku abi pokazati sho chislo ye vid yemnim Desyatkovij drib V matematichnomu traktati Sanzzi vikoristovuvalasya metodologiya desyatkovogo drobu Odiniceyu dovzhini bula 1 chi 1 chi 10cun 1cun 10fen 1fen 10li 1li 10hao 1hou 10hu 1 chi2cun3fen4li5hao6shi7hu vikladalosya na rahunkovij doshci nastupnim chinom dd dd dd de ye odinicya vimiryuvannya chi Matematik pivdennoyi dinastiyi Sun Cin Czyushao rozshiriv vikoristannya desyatkovih drobiv za mezhi metrologiyi U svoyemu en vin formalno viznachiv 1 1446154 dniv yak 日 dd dd dd dd dd Vin vidmitiv odinicyu vimiryuvannya chisla slovom 日 den napisavshi jogo znizu DodavannyaDodavannya u rahuvanni palichkami 3748 289 4037 Rahuvannya palichkami pracyuye za principom additivnosti Na vidminu vid arabskih chisel cifri predstavleni palichkami mayut aditivni vlastivosti Proces dodavannya peredbachaye mehanichne peremishennya palichok bez neobhidnosti zapam yatovuvati tablicyu dodavanya Sho ye samoyu velikoyu vidminnistyu vid arabskih chisel oskilki ne mozhlivo mehanichno sklasti chisla 1 i 2 razom abi utvorilosya chislo 3 abo 2 i 3 razom abi utvorilosya chislo 5 Navedenij malyunok pokazuye kroki dodavannya chisla 3748 do 289 Rozmistimo pershe chislo 3748 u pershij ryadok a 289 u drugij Rozrahunok vedetsya z LIVA na PRAVO spershu vid cifri 2 chisla 289 Zaberit dvi palichki znizu i dodajte do 7 sho zverhu abi utvorilosya 9 Peremistit 2 palichki zverhu do nizhnih 8 peremistit odnu vpered do 9 sho stane nulem i perenesit do chisla 3 abi utvorilosya 4 uberit 8 iz nizhnogo ryadka Peremistit odnu palichku iz 8 verhnogo ryadku do 9 na nizhnomu abi utvoriti odinicyu yaka bude perenesena na nastupnij poryadok i dodajte odnu palichku do 2 palichok u verhnomu ryadku abi utvorilosya 3 palichki u verhnomu ryadku zalishilas 7 Rezultatom ye 3748 289 4037 Pershe chislo zminilosya vnaslidok dodavannya v toj chas yak palichki nizhnogo ryadka znikli VidnimannyaBez pozichannya U vipadku koli ne potribno en neobhidno prosto perenesti kilkist palichok vid yemnika iz zmenshuvanogo Rezultatom rozrahunku ye riznicya Na malyunku poruch pokazani kroki vidnimannya chisla 23 iz 54 Pozichannya U vipadku koli neobhidno zastosuvati proceduru pozichannya iz starshogo rozryadku yak napriklad dlya 4231 789 neobhidno vikonati bilsh skladnu proceduru Kroki dlya cogo prikladu pokazani livoruch Rozmistit zmenshuvane chislo 4231 zverhu a vid yemnik 789 znizu Rozrahunok vedetsya zliva na pravo Zapozichimo 1 iz poziciyi tisyach dlya desyati u poziciyi soten vidnimemo 7 iz nizhnogo ryadka riznicyu 3 dodamo do chisla 2 zverhu tak sho utvoritsya 5 Chislo 7 znizu bulo vidnyato sho vidno iz pustogo miscya Zapozichimo 1 iz poziciyi soten de zalishitsya 4 Vidnimannya vid perenesenogo chisla 10 u desyatkovomu rozryadi chisla 8 sho znizu daye rezultat 2 yakij dodayetsya do 3 zverhu sho utvoryuye 5 Verhnij ryadok teper dorivnyuye 3451 nizhnij 9 Zapozichimo 1 iz 5 u desyatkovomu rozryadi zverhu zalishitsya 4 Vid zapozichenoyi 1 iz desyatkovogo rozryadu bude 10 v rozryadi odinic vidnimayuchi 9 otrimayemo 1 yaku potim dodayemo do verhnogo chisla i otrimayemo 2 Pislya togo yak usi palichki nizhnogo ryadka buli vidnyati u verhnomu ryadku otrimayemo 3442 sho ye rezultatom rozrahunkuMnozhennya38x76 2888 Algoritm mnozhennya detalno opisuyetsya u traktati en Livoruch na malyunku pokazani kroki rozrahunku mnozhennya 38 76 Rozmistit odin iz mnozhnikiv zverhu a drugij znizu Rozmistit chisla tak sho odinici nizhnogo chisla budut virivnyani iz najstarshim rozryadom verhnogo chisla Zalishte misce po seredini dlya fiksaciyi dij Rozpochnit rozrahunok iz starshogo rozryadu pershogo mnozhnika Vidpovidno do tablici mnozhennya 3 na 7 dorivnyuye 21 Rozmistit chislo 21 u viglyadi palichok po seredini tak sho 1 virivnyano pid desyatimi drugogo mnozhnika nad 7 Pislya chogo 3 na 6 dorivnyuye 18 rozmistit 18 yak pokazano na malyunku Z tim yak 3 verhnogo mnozhnika bula povnistyu pomnozhena priberit ci palichki z doshki Peresunte nizhnij mnozhnik na odnu poziciyu pravoruch Zminit palichki tak sho 7 bude v gorizontalnij formi a 6 v vertikalnij 8 7 56 rozmistit 56 v drugomu ryadku po seredini tak sho odinici virivnyano vidpovidno iz ciframi sho buli pomnozheni u nizhnomu mnozhniku Uberit 7 iz nizhnogo mnozhnika oskilki yiyi bulo povnistyu pomnozheno 8 6 48 dodavannya 4 do 6 iz ostannogo kroku daye 10 perenesit 1 vverh Uberit 8 iz poziciyi odinic u verhnomu mnozhniku i uberit 6 z poziciyi odinic v nizhnomu mnozhniku Suma chisel 2380 i 508 sho po seredini daye rezultat dobutku sho dorivnyuye 2888 Div takozhRahunkovi palichki en PrimitkiRonan and Needham The Shorter Science and Civilisation in China vol 2 Chapter 1 Mathematics Ho Peng Yoke Li Qi and Shu ISBN 0 486 41445 0 Lam Lay Yong p87 88 Lam Lay Yong 蓝丽蓉 Ang Tian Se 洪天赐 Fleeting Footsteps World Scientific ISBN 981 02 3696 4 Jean Claude Martzloff A History of Chinese Mathematics ISBN 978 3 540 33782 9