Примітивний елемент скінченного поля

Примітивним елементом скінченного поля ${\displaystyle GF(p^{m})}$ називається кожен генератор мультиплікативної групи цього поля.

Властивості

• Якщо ${\displaystyle \alpha }$ — примітивний елемент поля ${\displaystyle GF(p^{m})}$, тоді будь-який інший примітивний елемент можна отримати як степінь ${\displaystyle \alpha ^{k}}$, де k — ціле число взаємно просте з ${\displaystyle p^{m}-1}$. Тому кількість різних примітивних елементів в полі ${\displaystyle GF(p^{m})}$ дорівнює значенню функції Ейлера ${\displaystyle \varphi (p^{m}-1)}$.
• Мінімальний многочлен примітивного елемента поля ${\displaystyle GF(p^{m})}$ називається примітивним многочленом над полем ${\displaystyle GF(p)}$.

Приклад

${\displaystyle 2}$ є примітивним елементом полів ${\displaystyle GF(3)}$ і ${\displaystyle GF(5),}$ але не ${\displaystyle GF(7),}$ бо в ньому він утворює циклічну підгрупу порядку ${\displaystyle 3}$ — ${\displaystyle \{2,4,1\};}$ однак, ${\displaystyle 3}$ це примітивний елемент для ${\displaystyle GF(7).}$