Позіном

Позіном — це розширене поняття полінома, як суми мономів, за допомогою розширення поняття моном. З властивостей таких узагальнених мономів випливає обмеження області визначення функції, що задається позіномом, на строго додатні значення.

Визначення

Позіном — узагальнений поліном виду:

${\displaystyle g(x)=\sum \limits _{i=1}^{n}u_{i}(x)=\sum \limits _{i=1}^{n}c_{i}\prod \limits _{j=1}^{m}{x_{j}}^{a_{ij}},\quad x_{j}>0,\ c_{i}>0,\ a_{ij}\in \mathbb {R} .}$ ,

де ${\displaystyle u_{i}(x),\ i={\overline {1,n}}}$ — мономи.

Наприклад

${\displaystyle g(x)=0.25x^{4}+x^{-1.5}+2x^{9}.}$

Властивості

• якщо ${\displaystyle g(x)}$ — позіном, ${\displaystyle \lambda >0}$ — константа, то ${\displaystyle \lambda g(x)}$ — позіном,
• якщо ${\displaystyle f(x),g(x)}$ — позіноми, то ${\displaystyle f(x)+g(x)}$ — також позіном,
• якщо ${\displaystyle f(x),g(x)}$ — позіноми, то ${\displaystyle f(x)g(x)}$ — також позіном.

Таким чином, безліч позіномов є, як і безліч поліномів, кільцем.

Оскільки мономи — окремий випадок позіномів, безліч позіномів є, також, алгеброю над кільцем поліномів.

• якщо ${\displaystyle g(x)}$ — позіном, ${\displaystyle u(x)}$ — моном, то ${\displaystyle g(x)/u(x)}$ — позіном,
• якщо ${\displaystyle g(x)}$ — позіном, то ${\displaystyle {g(x)}^{k}\ (k>0,}$ ціле${\displaystyle )}$ — позіном.

Додатки

Позіноми є базовим поняттям в геометричному програмуванні. За допомогою позіномів описуються і вирішуються завдання з широкого кола математичних проблем, зокрема до нього належать: оптимальне планування, оптимальне управління, економічні завдання і розрахунок ризиків, кодування та інші.

Примітки

1. Геометрическое программирование, 1972, с. 12.