Поверхня Больци (крива Больци) — компактна ріманова поверхня роду 2 з максимальним можливим порядком конформної групи автоморфізмів для цього порядку, а саме, з групою GL2(3) порядку 48. Повна група автоморфізмів (включно з відобиттями) є напівпрямим добутком порядку 96. Афінну модель поверхні Больци можна отримати як геометричне місце точок, що задовольняють рівнянню
в . Поверхня є [en] афінної кривої. З усіх гіперболічних поверхонь роду 2 поверхня Больци має найвищу . Як [en] ріманова поверхня вона виникає як розгалужене подвійне покриття ріманової сфери з точками розгалуження в шести вершинах правильного [en], вписаного в сферу, що видно з наведеної формули.
Увів [en]1887 року.
Трикутна поверхня
Поверхня Больци є (2,3,8)-трикутною поверхнею (трикутник Шварца): фуксова група, що визначає поверхню Больцы, є підгрупою групи, утвореної відбиттями відносно сторін гіперболічного трикутника з кутами . Ця підгрупа є підгрупою з індексом групи відбиттів, що складається з добутку парного числа відбиттів і має абстрактне подання в термінах генераторів та відношень , а також . Фуксова група , яка визначає поверхню Больци, є також підгрупою (3,3,4) , яка є підгрупою з індексом 2 групи трикутника (2,3,8). Група (2,3,8) немає реалізації у термінах алгебри кватерніонів, але група (3,3,4) — має.
Під дією на диск Пуанкаре фундаментальною областю поверхні Больци є правильний восьмикутник з кутами у точках
- ,
де . Протилежні сторони восьмикутника ототожнюються під впливом фуксової групи. Генераторами служать матриці:
- ,
де і , разом із оберненими їм. Генератори задовольняють співвідношенню:
Див. також
- [en]
- [en]
- Поверхня Макбіта
Література
- Oskar Bolza. On Binary Sextics with Linear Transformations into Themselves // American Journal of Mathematics. — 1887. — Т. 10, вип. 1. — С. 47–70. — DOI: .
- Katz M., Sabourau S. An optimal systolic inequality for CAT(0) metrics in genus two // . — 2006. — Т. 227, вип. 1. — С. 95–107. — arXiv:math.DG/0501017. — DOI: .
- Maclachlan C., Reid A. The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds. — New York : Springer, 2003. — Т. 219. — (Graduate Texts in Math.) — .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Poverhnya Bolci kriva Bolci kompaktna rimanova poverhnya rodu 2 z maksimalnim mozhlivim poryadkom konformnoyi grupi avtomorfizmiv dlya cogo poryadku a same z grupoyu GL2 3 poryadku 48 Povna grupa avtomorfizmiv vklyuchno z vidobittyami ye napivpryamim dobutkom GL2 3 Z2 displaystyle GL 2 3 rtimes mathbb Z 2 poryadku 96 Afinnu model poverhni Bolci mozhna otrimati yak geometrichne misce tochok sho zadovolnyayut rivnyannyu y2 x5 x displaystyle y 2 x 5 x v C2 displaystyle mathbb C 2 Poverhnya ye en afinnoyi krivoyi Z usih giperbolichnih poverhon rodu 2 poverhnya Bolci maye najvishu Yak en rimanova poverhnya vona vinikaye yak rozgaluzhene podvijne pokrittya rimanovoyi sferi z tochkami rozgaluzhennya v shesti vershinah pravilnogo en vpisanogo v sferu sho vidno z navedenoyi formuli Uviv en 1887 roku Trikutna poverhnyaZamoshennya poverhni Bolci vidobrazhennyami oblasti ye chastkoyu en Poverhnya Bolci ye 2 3 8 trikutnoyu poverhneyu trikutnik Shvarca fuksova grupa sho viznachaye poverhnyu Bolcy ye pidgrupoyu grupi utvorenoyi vidbittyami vidnosno storin giperbolichnogo trikutnika z kutami p2 p3 p8 displaystyle tfrac pi 2 tfrac pi 3 tfrac pi 8 Cya pidgrupa ye pidgrupoyu z indeksom grupi vidbittiv sho skladayetsya z dobutku parnogo chisla vidbittiv i maye abstraktne podannya v terminah generatoriv s2 s3 s8 displaystyle s 2 s 3 s 8 ta vidnoshen s22 s33 s88 1 displaystyle s 2 2 s 3 3 s 8 8 1 a takozh s2s3 s8 displaystyle s 2 s 3 s 8 Fuksova grupa G displaystyle Gamma yaka viznachaye poverhnyu Bolci ye takozh pidgrupoyu 3 3 4 yaka ye pidgrupoyu z indeksom 2 grupi trikutnika 2 3 8 Grupa 2 3 8 nemaye realizaciyi u terminah algebri kvaternioniv ale grupa 3 3 4 maye Pid diyeyu G displaystyle Gamma na disk Puankare fundamentalnoyu oblastyu poverhni Bolci ye pravilnij vosmikutnik z kutami p4 displaystyle tfrac pi 4 u tochkah pk 2 14ei p8 kp4 displaystyle p k 2 tfrac 1 4 e i left tfrac pi 8 k tfrac pi 4 right de k 0 7 displaystyle k 0 ldots 7 Protilezhni storoni vosmikutnika ototozhnyuyutsya pid vplivom fuksovoyi grupi Generatorami sluzhat matrici gk 1 2 2 2 aeikp4 2 2 ae ikp41 2 displaystyle g k begin pmatrix 1 sqrt 2 amp 2 sqrt 2 alpha e i tfrac k pi 4 2 sqrt 2 alpha e i tfrac k pi 4 amp 1 sqrt 2 end pmatrix de a 2 1 displaystyle alpha sqrt sqrt 2 1 i k 0 3 displaystyle k 0 ldots 3 razom iz obernenimi yim Generatori zadovolnyayut spivvidnoshennyu g0g1 1g2g3 1g0 1g1g2 1g3 1 displaystyle g 0 g 1 1 g 2 g 3 1 g 0 1 g 1 g 2 1 g 3 1 Div takozh en en Poverhnya MakbitaLiteraturaOskar Bolza On Binary Sextics with Linear Transformations into Themselves American Journal of Mathematics 1887 T 10 vip 1 S 47 70 DOI 10 2307 2369402 Katz M Sabourau S An optimal systolic inequality for CAT 0 metrics in genus two 2006 T 227 vip 1 S 95 107 arXiv math DG 0501017 DOI 10 2140 pjm 2006 227 95 Maclachlan C Reid A The Arithmetic of Hyperbolic 3 Manifolds New York Springer 2003 T 219 Graduate Texts in Math ISBN 0 387 98386 4