Перша теорема Веєрштрасса доводить обмеженість неперервної функції на відрізку (замкненому проміжку).
У деяких підручниках цю теорему об'єднують із (другою теоремою Веєрштрасса) в одну «теорему Веєрштрасса».
Формулювання теореми
Якщо функція неперервна на відрізку
, то вона обмежена на цьому проміжку.
Доведення
Доведемо, що функція обмежена зверху на проміжку
(обмеженість знизу доводиться аналогічно).
Припустимо протилежне, тобто, що не є обмеженою на проміжку
.
Тоді для будь-якого натурального числа
знайдеться хоча б одна точка
з проміжку
така, що
(інакше
була б обмежена зверху на проміжку
).
Таким чином, існує послідовність значень з проміжку
така, що відповідна їй послідовність значень функції
є нескінченно великою. Внаслідок (теореми Больцано — Веєрштрасса), з послідовності
можна виділити підпослідовність, яка збігається до точки
, що належить
. Позначимо цю послідовність символом
,
. Внаслідок неперервності функції
у точці
відповідна підпослідовність значень функції
має збігатися до
. Але це неможливо, оскільки підпослідовність
, яку виділено з послідовності
, сама є нескінченно великою. Отже, наше припущення про необмеженість хибне.
Теорему доведено.
Зауваження
Для інтервалу (чи півпроміжку) твердження, аналогічне першій теоремі Веєрштрасса, вже хибне, тобто з неперервності функції на інтервалі (півпроміжку) вже не випливає обмеженість цієї функції на вказаній множині.
Наприклад, розглянемо функцію на інтервалі
. Ця функція на вказаному інтервалі неперервна, але необмежена, оскільки існує послідовність точок
, які належать вказаному інтервалу, така, що відповідна послідовність значень функції
є нескінченно великою.
Див. також
Джерела
- І. В. АБРАМЧУК, Н. В. САЧАНЮК-КАВЕЦЬКА, Л. І. ПЕДОРЧЕНКО. Тема 2. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ГРАНИЦЬ // ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ.
- Вища математика — 2 : Навчальний посібник для студентів технічних напрямків підготовки / Укладач: В. В. Бакун. — К. : НТУУ «КПІ», 2013. — С. 109—110. — 270 с.
Література
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
- Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
- , Основы математического анализа. — 7-е. — М : Физматлит, 2004. — Т. 1. — 644 с. — .(рос.)
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет