Основний стан квантової системи

Основним станом квантовомеханічної системи називається стаціонарний стан із найменшою енергією.

У квантовій механіці спектр гамільтоніана, тобто спектр можливих значень енергії, завжди обмежений знизу, тож серед його власних значень завжди знаходиться найменше.

Властивості

Стан із найменшим значенням енергії невироджений.

В одновимірному випадку хвильова функція основного стану не має нулів.

Середнє значення енергії, вирахуване на будь-якій іншій хвильовій функції завжди більше за енергію основного стану.

Інше

Основний стан заведено позначати кет-вектором ${\displaystyle |0\rangle }$.

Інші стани з більшою енергією називають збудженими станами.

Основний стан квантовомеханічної системи має велике значення тому, що багато систем, наприклад вільні атоми, молекули, внаслідок взаємодії з іншими системами, наприклад із електромагнітними коливаннями (випромінюючи надлишок енергії), приходять до основного стану.

Приклад

Знайдемо основний стан, який буде розв'язком рівняння Шредінгера для квантового гармонічного осцилятора:

${\displaystyle {\frac {-\hbar }{2m}}{\frac {d^{2}\Psi (x)}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\Psi (x)=E\Psi (x)}$

Випробуємо хвильову функцію форми:

${\displaystyle \Psi (x)=Ce^{-\alpha x^{2}/2}}$

Підстановкою цієї функції в рівняння Шредінгера через другу похідну маємо: ${\displaystyle {\frac {d\Psi }{dx}}=-C{\frac {\alpha }{2}}e^{-\alpha x^{2}/2}2x}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\Psi }{dx^{2}}}=-C\alpha e^{-\alpha x^{2}/2}+C\alpha ^{2}x^{2}e^{-\alpha x^{2}/2}}$

${\displaystyle {\frac {-\hbar }{2m}}\lbrack {-\alpha +\alpha ^{2}x^{2}}\rbrack \Psi +{\frac {1}{2}}m{\omega }^{2}x^{2}\Psi =E\Psi }$

Щоб це було розв'язком для всіх ${\displaystyle x}$, коефіцієнти мають бути однакові при всіх степенях. Цим ми можемо поєднати крайові умови з диференціальним рівнянням. Вирівнюємо коефіцієнти:

${\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}\alpha ^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}=0}$

І з вільними членами отримуємо енергію:

${\displaystyle {\frac {-\hbar }{2m}}{\frac {m\omega }{\hbar }}=E_{0}={\frac {\hbar \omega }{2}}}$

Тобто енергія системи, описаної квантовим гармонійним осцилятором, не може бути нульовою. Фізичні системи на зразок атомів у твердій ґратці або поліатомній молекулі в газі не можуть мати нульової енергії навіть за абсолютного нуля. Енергію основного коливального стану називають також нульовими коливаннями. Цієї енергії вистачає, щоб гелій-4 не замерз при атмосферному тиску незалежно від того, наскільки низька температура.

Джерела

• І. Р. Юхновський (2002). Основи квантової механіки. Київ: Либідь.