Обмежені неповні частки

У математиці про дійсне число кажуть, що воно має обмежені неповні частки, якщо при його розкладанні в ланцюговий дріб неповні частки не набувають як завгодно великих значень.

Визначення Ланцюговий дріб ${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+\dots }}}}}$ має обмежені неповні частки, якщо існує число ${\displaystyle c}$ таке, що ${\displaystyle a_{i}\leq c}$ для будь-якого ${\displaystyle i\geq 0}$.

Властивості

• будь-який має обмежені неповні частки;

• якщо ${\displaystyle x}$ має обмежені неповні частки, то у двійковому поданні значення функції Мінковського в точці ${\displaystyle x}$ відстань між сусідніми одиницями обмежена (в цьому контексті множину таких чисел можна розуміти як широке узагальнення ідеї побудови множини Кантора).

Гіпотеза Заремби

Докладніше: Гіпотеза Заремби

Розклад раціонального числа в ланцюговий дріб завжди скінченний, тому всі його неповні частки обмежені найбільшою з них. Особливо цікавим є питання, чи можна накласти єдині обмеження на неповні частки більшості раціональних чисел. Його 1972 року поставив Станіслав Заремба.

Гіпотеза Заремби Існує абсолютна стала ${\displaystyle c}$ така, що для будь-якого знаменника ${\displaystyle q\in {\mathbb {N} }}$ існує чисельник ${\displaystyle a<q}$ такий, що ${\displaystyle (a,q)=1}$ та неповні частки нескоротного дробу ${\displaystyle {\frac {a}{q}}=[a_{1},\dots ,a_{s}]}$ обмежені нерівністю ${\displaystyle a_{i}\leq c,\ i=1,\dots ,s}$

Бурген і Конторович довели гіпотезу для багатьох чисел ${\displaystyle q}$ щільності 1. Для малих значень сталої ${\displaystyle c}$ та окремих множин допустимих значень ${\displaystyle a_{i}}$ вивчають слабші нижні оцінки на розподіл таких ${\displaystyle q}$.

Примітки

1. Bourgain, Kontorovich, 2014.
2. Див. Кан, 2016 та інші праці з тієї ж серії.

Література

• J. Bourgain, A. Kontorovich. On Zaremba’s conjecture // Annals of Mathematics. — 2014. — Vol. 180 (17 July). — P. 137–196.
• И. Д. Кан. Усиление теоремы Бургейна–Конторовича. IV // Известия РАН. — 2016. — Т. 80, вып. 6 (17 июля). — С. 103–126.