Нульовий тензор Рімана

Тензор Рімана ${\displaystyle R_{\,ijk}^{s}}$ (тензор внутрішньої кривини многовида) з'являється при розгляді комутатора коваріантних похідних коваріантного вектора (дивіться статтю Диференціальна геометрія)

${\displaystyle (1)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]a_{i}=-R_{\,ijk}^{s}a_{s}}$

Деякі тотожності

${\displaystyle (2)\qquad R_{\,ijk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{ik}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{ij}^{s}+\Gamma _{ij}^{p}\Gamma _{pk}^{s}-\Gamma _{ik}^{p}\Gamma _{pj}^{s}}$

Замість коваріантних компонент ${\displaystyle a_{i}}$ можна підставити базисні вектори ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$:

${\displaystyle (3)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]\mathbf {r} _{i}=-R_{\,ijk}^{s}\mathbf {r} _{s}}$

І враховуючи, що коваріантна похідна від базисних векторів ${\displaystyle \nabla _{j}\mathbf {r} _{i}}$ дорівнює векторам повної кривини ${\displaystyle \mathbf {b} _{ij}}$ (дивіться ), маємо:

${\displaystyle (3)\qquad \nabla _{j}\mathbf {b} _{ik}-\nabla _{k}\mathbf {b} _{ij}=-R_{\,ijk}^{s}\mathbf {r} _{s}}$

Домножимо формулу (3) скалярно на ${\displaystyle \mathbf {r} _{p}}$, i врахуємо ортогональність векторів кривини до многовиду: ${\displaystyle (\mathbf {r} _{s}\cdot \mathbf {b} _{ij})=0}$. В результаті одержуємо формулу для коваріантних компонент тензора Рімана:

${\displaystyle -R_{pijk}=-R_{\,ijk}^{s}(\mathbf {r} _{p}\cdot \mathbf {r} _{s})=-(\mathbf {r} _{p}\cdot (\nabla _{j}\mathbf {b} _{ik}))+(\mathbf {r} _{p}\cdot (\nabla _{k}\mathbf {b} _{ij}))=}$

${\displaystyle =-(\nabla _{j}(\mathbf {r} _{p}\cdot \mathbf {b} _{ik})+((\nabla _{j}\mathbf {r} _{p})\cdot \mathbf {b} _{ik}))+(\nabla _{k}(\mathbf {r} _{p}\cdot \mathbf {b} _{ij})-((\nabla _{k}\mathbf {r} _{p})\cdot \mathbf {b} _{ij}))=}$

${\displaystyle =-(0-(\mathbf {b} _{jp}\cdot \mathbf {b} _{ik}))+(0-(\mathbf {b} _{kp}\cdot \mathbf {b} _{ij}))=(\mathbf {b} _{pj}\cdot \mathbf {b} _{ik})-(\mathbf {b} _{pk}\cdot \mathbf {b} _{ij})}$

або після зміни знаку і перейменування індексів:

${\displaystyle (4)\qquad R_{ijkl}=(\mathbf {b} _{ik}\cdot \mathbf {b} _{jl})-(\mathbf {b} _{il}\cdot \mathbf {b} _{jk})}$

Як можна побачити з останнього рівняння (в скалярних добутках індекси ${\displaystyle k}$ і ${\displaystyle l}$ переставлені), тензор Рімана антисиметричний за першою парою індексів ${\displaystyle ij}$ і за другою парою індексів ${\displaystyle kl}$ (при перестановці зменшуване і від'ємник у правій частині формули (4) міняються місцями):

${\displaystyle (5)\qquad R_{ijkl}=-R_{jikl}=-R_{ijlk}}$

Також легко бачити, що тензор Рімана не змінюється при перестановці першої пари індексів ${\displaystyle ij}$ з другою парою індексів ${\displaystyle kl}$ (при перестановці у множниках зменшуваного індекси переставляються, але оскільки величини ${\displaystyle \mathbf {b} _{ij}}$ симетричні за індексами, то скалярний добуток зменшуваного не зміниться; у від'ємнику аналогічно, але співмножники в скалярному добутку міняються місцями, що не впливає на результат):

${\displaystyle (6)\qquad R_{ijkl}=R_{klij}}$

Згортка тензора Рімана за першим і третім індексами (або, що еквівалентно, за другим і четвертим індексами) дає симетричний тензор другого рангу ${\displaystyle R_{ik}}$, який називається тензором Річчі:

${\displaystyle (7)\qquad R_{ik}=g^{jl}R_{ijkl}}$

Тензор Річчі симетричний:

${\displaystyle (8)\qquad R_{ik}=R_{ki}}$

Тензор Річчі можна також згорнути за індексами, одержавши скалярну кривину:

${\displaystyle (9)\qquad R=g^{ik}R_{ik}}$

Враховуючи (4), маємо:

${\displaystyle (10)\qquad R=(\mathbf {b} _{i}^{i})^{2}-(\mathbf {b} _{i}^{j}\cdot \mathbf {b} _{j}^{i})}$

Комутатор для контраваріантного векора одержуємо, піднявши індекс ${\displaystyle i}$ у формулі (1):

${\displaystyle (11)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]a^{i}=-R_{\;jk}^{si}a_{s}=R_{\;jk}^{is}a_{s}=R_{\,sjk}^{i}a^{s}}$

Оскільки комутатор коваріантних похідних ${\displaystyle [\nabla _{i}\nabla _{j}]}$ діє на добуток тензорів ${\displaystyle TU}$ за правилом диференціального оператора:

${\displaystyle [\nabla _{i}\nabla _{j}](TU)=([\nabla _{i}\nabla _{j}]T)U+T([\nabla _{i}\nabla _{j}]U)}$

то ми можемо, користуючись формулами (1) і (11), обчислити дію комутатора коваріантних похідних на тензор, який є добутком векторів.

Але довільний тензор можна представити лінійною комбінацією таких елементарних тензорів, тому при дії комутатора на довільний тензор з будь-якою кількістю верхніх та нижніх індексів, маємо:

${\displaystyle (12)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]T_{l_{1}l_{2}\cdots }^{i_{1}i_{2}\cdots }=R_{\;sjk}^{i_{1}}T_{l_{1}l_{2}\cdots }^{si_{2}\cdots }+R_{\;sjk}^{i_{2}}T_{l_{1}l_{2}\cdots }^{i_{1}s\cdots }+\cdots -R_{\,l_{1}jk}^{s}T_{sl_{2}\cdots }^{i_{1}i_{2}\cdots }-R_{\,l_{2}jk}^{s}T_{l_{1}s\cdots }^{i_{1}i_{2}\cdots }}$

Тензор Рімана задовольняє дві тотожності Біанкі:

Алгебраїчна тотожність Біанкі (циклічна перестановка індексів ${\displaystyle ijk}$):

${\displaystyle (13)\qquad R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij}=0}$

Диференціальна тотожність Біанкі (циклічна перестановка індексів ${\displaystyle pjk}$):

${\displaystyle (14)\qquad \nabla _{p}R_{\,ijk}^{s}+\nabla _{j}R_{\,ikp}^{s}+\nabla _{k}R_{\,ipj}^{s}=0}$

Алгебраїчна тотожність Біанкі

Тензор Рімана задовольняє наступну тотожність:

${\displaystyle (1)\qquad R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij}=0}$

яка називається алгебраїчною тотожністю Біанкі.

Варіанти запису алгебраїчної тотожності Біанкі

Оскільки тензор Рімана має дві антисиметричні пари індексів (тензор змінює знак на протилежний при перестановці двох індексів всередині кожної з пар), причому тензор симетричний при перестановці місцями самих пар, то ми можемо, наприклад поміняти місцями перші два індекса. Одержуємо (змінивши знак):

${\displaystyle (1a)\qquad R_{isjk}+R_{jski}+R_{ksij}=0}$

Якщо тепер поміняти місцями пари індексів, то матимемо:

${\displaystyle (1b)\qquad R_{jkis}+R_{kijs}+R_{ijks}=0}$

Всі ці тотожності еквівалентні, і словами їх можна описати так: фіксуємо один з індексів тензора Рімана, а з трьох решти індексів утворююємо три циклічні перестановки. Сума компонент тензора Рімана з одержаними трьома наборами індексів дорівнює нулю.

Інші варіанти одержуються при підніманні одного чи декількох індексів, наприклад:

${\displaystyle (1c)\qquad R_{\;ijk}^{s}+R_{\;jki}^{s}+R_{\;kij}^{s}=0}$

Підготовка доведення

Нехай ми маємо величину з трьома індексами ${\displaystyle s_{ij,k}}$ яка симетрична по двох індексах (наприклад по двох перших індексах):

${\displaystyle (2)\qquad s_{ij,k}=s_{ji,k}}$

З неї ми можемо скласти іншу величину, яка буде антисиметрична по останніх двох індексах, за наступною формулою:

${\displaystyle (3)\qquad a_{i,jk}=s_{ij,k}-s_{ik,j}}$

Тоді легко перевірити, що сума компонент ${\displaystyle a_{i,jk}}$ при циклічних перестановках індексів дорівнює нулю:

${\displaystyle (4)\qquad a_{i,jk}+a_{j,ki}+a_{k,ij}=s_{ij,k}-s_{ik,j}+s_{jk,i}-s_{ji,k}+s_{ki,j}-s_{kj,i}=0}$

Цей хід викладок не зміниться, якщо величина ${\displaystyle s_{ij,k\dots }}$ матиме більшу кількість індексів, які проте в перестановках не беруть участі.

Доведення виходячи із представлення через символи Крістофеля

Запишемо тензор Рімана через символи Крістофеля:

${\displaystyle (5)\qquad R_{\;ijk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{ki}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{ji}^{s}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{ki}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{ji}^{p}}$

Якщо ми позначимо:

${\displaystyle (6)\qquad s_{ij,k}=-\partial _{k}\Gamma _{ji}^{s}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{ji}^{p}}$

то

${\displaystyle (7)\qquad a_{i,jk}=s_{ij,k}-s_{ik,j}=R_{\;ijk}^{s}}$

і рівність (4) збігається з алгебраїчною тотожністю Біанкі (1).

Доведення виходячи із представлення через вектори повної кривини

Запишемо тензор Рімана:

${\displaystyle (8)\qquad R_{sijk}=(\mathbf {b} _{sj}\cdot \mathbf {b} _{ik})-(\mathbf {b} _{sk}\cdot \mathbf {b} _{ij})}$

В цьому випадку

${\displaystyle (9)\qquad s_{ij,k}=-(\mathbf {b} _{sk}\cdot \mathbf {b} _{ij})}$

а далі все аналогічно попереднім викладкам.

Доведення через коваріантні похідні

Нехай и маємо довільне скалярне поле ${\displaystyle \phi =\phi (u^{1},\dots u^{n})}$. Введемо наступні позначення для коваріантних похідних цього поля першого та другого порядку:

${\displaystyle (10)\qquad \phi _{i}=\nabla _{i}\phi =\partial _{i}\phi }$

${\displaystyle (11)\qquad \phi _{ij}=\nabla _{i}\nabla _{j}\phi =\partial _{i}\partial _{j}\phi -\Gamma _{ij}^{s}\phi _{s}}$

Зазначимо, що друга похідна є симетричним тензором внаслідок перестановочності частинних похідних та симетрії символів Крістофеля.

Тоді згортка тензора Рімана з градієнтом ${\displaystyle \phi }$ дорівнює:

${\displaystyle (12)\qquad R_{\;ijk}^{s}\phi _{s}=[\nabla _{k}\nabla _{j}]\phi _{i}=\nabla _{k}\phi _{ij}-\nabla _{j}\phi _{ik}}$

В цьому випадку:

${\displaystyle (13)\qquad s_{ij,k}=\nabla _{k}\phi _{ij}}$

і ми одержуємо тотожність:

${\displaystyle (14)\qquad \left(R_{\;ijk}^{s}+R_{\;jki}^{s}+R_{\;kij}^{s}\right)\phi _{s}=0}$

Оскільки функція ${\displaystyle \phi =\phi (u^{1},\dots u^{n})}$ довільна, ми можемо взяти її рівній одній з координат (${\displaystyle \alpha }$ — фіксований індекс):

${\displaystyle (15)\qquad \phi =u^{\alpha },\qquad \phi _{s}=\delta _{s}^{\alpha }}$

Підставляючи (15) в (14) одержуємо (з точністю до позначень індексів) алгебраїчну тотожність Біанкі (1).

Антисиметризація тензора Рімана

Використовуючи тензор тензор метричної матрьошки, можна для довільного тензора ${\displaystyle T_{i_{1}\cdots i_{m}}}$ ${\displaystyle m}$-рангу скласти наступний антисиметричний по всіх індексах тензор:

${\displaystyle (16)\qquad A_{i_{1}\dots i_{m}}={1 \over m!}g_{i_{1}\dots i_{m}}^{j_{1}\dots j_{m}}T_{j_{1}\dots j_{m}}}$

Очевидно, що антисиметричний тензор залишається незмінним після проведення процедури антисиметризації.

Застосуємо антисиметризацію до тензора Рімана:

${\displaystyle (17)\qquad A_{sijk}={1 \over 4!}g_{sijk}^{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1}}R_{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1}}={1 \over 24}{\begin{vmatrix}\delta _{s}^{s_{1}}\delta _{i}^{s_{1}}\delta _{j}^{s_{1}}\delta _{k}^{s_{1}}\\\delta _{s}^{i_{1}}\delta _{i}^{i_{1}}\delta _{j}^{i_{1}}\delta _{k}^{i_{1}}\\\delta _{s}^{j_{1}}\delta _{i}^{j_{1}}\delta _{j}^{j_{1}}\delta _{k}^{j_{1}}\\\delta _{s}^{k_{1}}\delta _{i}^{k_{1}}\delta _{j}^{k_{1}}\delta _{k}^{k_{1}}\end{vmatrix}}R_{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1}}}$

При розкриванні визначника ми одержимо 24 доданка по перестановках індексів ${\displaystyle sijk}$, причому парні перестановки будуть зі знаком «плюс», а непарні — зі знаком «мінус»:

${\displaystyle (18)\qquad A_{sijk}={1 \over 24}\left((R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij})-(R_{sjik}+R_{sikj}+R_{skji})+\dots \right)}$

Усього в формулі (18) буде вісім груп доданків по три доданки в кожній. Враховуючи симетрії тензора Рімана легко бачити, що всі ці вісім груп однакові (із врахуванням знаків). Тому одержуємо:

${\displaystyle (19)\qquad A_{sijk}={1 \over 3}(R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij})}$

Тепер алгебраїчну тотожність Біанкі можна словами описати так: антисиметризація тензора Рімана дорівнює нулю.

Кількість лінійно незалежних компонент внутрішньої кривини

Якщо ${\displaystyle n}$ — розмірність многовида, то кількість комбінацій в антисиметричній парі індексів дорівнює:

${\displaystyle (20)\qquad \alpha =C_{n}^{2}={n(n-1) \over 2}}$

Оскільки тензор Рімана симетричний щодо перестановки пар індексів, то його компоненти записуються (з точністю до знаку) через таку кількість різних чисел:

${\displaystyle (21)\qquad \beta ={\alpha (\alpha +1) \over 2}={n(n-1) \over 4}\left({n(n-1) \over 2}+1\right)}$

Але ці числа пов'язані лінійними залежностями, які слідують з алгебраїчної тотожності Біанкі. Кількість цих рівнянь, як легко бачити з формули (19), дорівнює кількості істотно різних компонент антисиметричного тензора четвертого рангу ${\displaystyle A_{ijkl}}$:

${\displaystyle (22)\qquad \gamma =C_{n}^{4}={n(n-1)(n-2)(n-3) \over 24}}$

(зауважимо, що формула (22) дає правильний результат, тобто нуль, тоді коли ${\displaystyle n<4}$)

Отже кількість лінійно незалежних компонент тензора Рімана дорівнює різниці:

${\displaystyle (23)\qquad N=\beta -\gamma ={n(n-1) \over 24}(3n(n-1)+6-(n-2)(n-3))={n^{2}(n^{2}-1) \over 12}}$

Звичайно, формула (23) дає тільки максимально можливу кількість лінійно незалежних компонент тензора Рімана для даної розмірності многовида. А для конкретних многовидів ця кількість може бути меншою. Наприклад для плоского простору ця кількість дорівнює нулю, а для гіперповерхні в системі координат головних напрямків, маємо для індексів ${\displaystyle i\neq j}$ формулу:

${\displaystyle (24)\qquad R_{ijij}=k^{(i)}k^{(j)}}$

а отже кількість лінійно незалежних компонент не перевищує кількості комбінацій з ${\displaystyle n}$ по 2, тобто:

${\displaystyle (25)\qquad N_{hypersurface}=C_{n}^{2}={n(n-1)/2}}$

Зв'язок з іншими властивостями внутрішньої кривини

Внаслідок алгебраїчної тотожності Біанкі, внутрішня кривина многовида повністю визначається за значеннями наступної квадратичної форми від бівекторів ${\displaystyle \sigma ^{ij}=a^{i}b^{j}-a^{j}b^{i}}$:

${\displaystyle (26)\qquad \Phi ({\boldsymbol {\sigma }})=R_{ijkl}\sigma ^{ij}\sigma ^{kl}}$

Також з алгебраїчною тотожністю Біанкі пов'язана можливість альтернативного погляду на внутрішню кривину через .

Диференціальна тотожність Біанкі

Тензор Рімана задовольняє наступну тотожність:

${\displaystyle (1)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}+\nabla _{j}R_{\;rki}^{s}+\nabla _{k}R_{\;rij}^{s}=0}$

яка називається диференціальною тотожністю Біанкі.

Доведення з використанням спеціальної системи координат

Достатнньо вибрати на многовиді якусь одну довільну точку ${\displaystyle P}$ і довести рівність (1) у цій точці. Оскільки точка ${\displaystyle P}$ довільна, то звідси слідуватиме справедливість тотожності (1) на всьому многовиді.

В точці ${\displaystyle P}$ ми можемо вибрати таку спеціальну систему координат, що всі символи Крістофеля (але не їхні похідні) перетворюються в нуль в точці ${\displaystyle P}$ (див. статтю ). Тоді для коваріантних похідних в точці ${\displaystyle P}$ маємо:

${\displaystyle (2)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\partial _{i}R_{\;rjk}^{s}}$

Оскільки

${\displaystyle (3)\qquad R_{\;rjk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{jr}^{s}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{kr}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{jr}^{p}}$

то в точці ${\displaystyle P}$ маємо:

${\displaystyle (4)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\partial _{i}\partial _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\partial _{i}\partial _{k}\Gamma _{jr}^{s}}$

Циклічно переставляючи в (4) індекси ${\displaystyle ijk}$ одержимо ще дві рівності:

${\displaystyle (5)\qquad \nabla _{j}R_{\;rki}^{s}=\partial _{j}\partial _{k}\Gamma _{ir}^{s}-\partial _{j}\partial _{i}\Gamma _{kr}^{s}}$

${\displaystyle (6)\qquad \nabla _{k}R_{\;rij}^{s}=\partial _{k}\partial _{i}\Gamma _{jr}^{s}-\partial _{k}\partial _{j}\Gamma _{ir}^{s}}$

Легко бачити, що при додаванні рівностей (4), (5) і (6) в лівій частині рівняння буде вираз (1), а в правій, врахувавши комутативність частинних похідних, усі доданки взаємно знищаться і ми одержимо нуль.

Існування декартової системи координат

Якщо існує декартова система координат, то ${\displaystyle R_{ijkl}=0}$

Якщо на многовиді існує декартова система координат (в якій метричний тензор дорівнює одиничній матриці ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$), то в цій системі координат всі похідні метричного тензора ${\displaystyle \partial _{k}g_{ij}=0}$, а отже і всі символи Крістофеля тотожно дорівнюють нулю:

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={1 \over 2}g^{ks}(\partial _{i}g_{js}+\partial _{j}g_{is}-\partial _{s}g_{ij})=0}$

Отже і всі компоненти тензора Рімана в декартовій системі координат дорівнюють нулю:

${\displaystyle R_{\;ijk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{ik}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{ij}^{k}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{ik}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{ij}^{p}=0}$

Але оскільки тензор Рімана при переході в іншу систему координат перетворюється по тензорним правилам:

${\displaystyle {\tilde {R}}_{\;ijk}^{s}=R_{\;lmn}^{p}{\partial {\tilde {u}}^{s} \over \partial u^{p}}{\partial u^{l} \over \partial {\tilde {u}}^{i}}{\partial u^{m} \over \partial {\tilde {u}}^{j}}{\partial u^{n} \over \partial {\tilde {u}}^{k}}}$

то він дорівнює нулю в будь-якій іншій системі координат на цьому многовиді.

Якщо ${\displaystyle R_{ijkl}=0}$, то можна побудувати декартову систему координат

Нехай тензор Рімана тотожно дорівнює нулю в деякій зв'язній області многовида. Візьмемо довільну точку ${\displaystyle P}$ в межах цієї області - ця точка буде початком нашої майбутньої декартової системи координат. В точці виберемо якийсь ортонормований базис - вектори цього базису будуть задавати додатні напрямки координатних осей майбутньої системи координат.

Розглянемо один із векторів базису, який поки що для простоти позначимо буквою ${\displaystyle v}$ (взагалі-то кількість базисних векторів ${\displaystyle n}$, і треба було б позначити індексом, який із базисних векторів ми розглядаємо; але поки ми зосередимося на побудові однієї координати).

Користуючись починаючи з точки ${\displaystyle P}$, в кожній точці області многовида побудуємо вектор, паралельний вектору ${\displaystyle v}$. Результат перенесення не залежить від шляху переносу (оскільки тензор Рімана дорівнює нулю), а залежить тільки від кінцевої точки. Таким чином ми одержали в нашій області векторне поле:

${\displaystyle (1)\qquad v_{i}=v_{i}(u^{1},u^{2},\dots u^{n})}$

яке до того ж є постійним стосовно коваріантного диференціювання, тобто справедливі рівності:

${\displaystyle (2)\qquad \nabla _{j}v_{i}=0}$

З останнього рівняння, враховуючи означення коваріантної похідної і симетрію символів Крістофеля, знаходимо:

${\displaystyle (3)\qquad 0=\nabla _{j}v_{i}-\nabla _{i}v_{j}=(\partial _{j}v_{i}-\Gamma _{ji}^{k}v_{k})-(\partial _{i}v_{j}-\Gamma _{ij}^{k}v_{k})=\partial _{j}v_{i}-\partial _{i}v_{j}=0}$

Тепер, оскільки

${\displaystyle (4)\qquad \partial _{j}v_{i}=\partial _{i}v_{j}}$

То вектор є градієнтом деякої скалярної функції ${\displaystyle \phi =\phi (u^{1},u^{2},\dots u^{n})}$:

${\displaystyle (5)\qquad v_{i}=\partial _{i}\phi }$

Функцію ${\displaystyle \phi }$ в якійсь точці ${\displaystyle Q}$ області многовида можна обчислити через інтеграл по кривій, що сполучає початок координат ${\displaystyle P}$ і точку ${\displaystyle Q}$:

${\displaystyle (7)\qquad \phi {\big |}_{Q}=\int _{P}^{Q}v_{i}du^{i}}$

причому результат інтегрування не залежить від кривої (внаслідок формули Стокса і рівності (5)).

Функція ${\displaystyle \phi =\phi (u^{1},u^{2},\dots u^{n})}$ і буде однією з координат. Тепер повернемося до інших векторів базису, цього разу уже пронумеруємо ці вектори індексом, взятим у дужки. Так само для кожного такого вектора побудуємо в нашій області відповідне постійне векторне поле, яке є градієнтом відповідної координати:

${\displaystyle (8)\qquad v_{i}^{(k)}=\partial _{i}\phi ^{(k)}}$

Оскільки групи векторів зберігає скалярні добутки між ними, а в початку координат ці скалярні добутки дорівнюють одиничній матриці, то в усій області маємо:

${\displaystyle (9)\qquad g^{ij}{\partial \phi ^{(k)} \over \partial u^{i}}{\partial \phi ^{(l)} \over \partial u^{j}}=\delta ^{kl}}$

тобто координати ${\displaystyle \phi ^{(k)}}$ є декартовими.

Погляд із охоплюючого евклідового простору

Розглянемо рівність:

${\displaystyle (10)\qquad R_{ijkl}=(\mathbf {b} _{ik}\cdot \mathbf {b} _{jl})-(\mathbf {b} _{il}\cdot \mathbf {b} _{jk})=0}$

в якійсь точці ${\displaystyle P}$ многовиду, і дві геодезичні лінії, що проходять через цю точку, але в різних напрямках. Кривини цих геодезичних дорівнюють:

${\displaystyle \mathbf {k} =\mathbf {b} _{ij}\tau ^{i}\tau ^{j}}$

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {k} }}=\mathbf {b} _{ij}{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{j}}$

Тепер домножимо (10) на добуток ${\displaystyle \tau ^{i}{\tilde {\tau }}^{j}\tau ^{k}{\tilde {\tau }}^{l}}$, одержимо:

${\displaystyle (\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {k} }})=(\mathbf {b} _{ij}\tau ^{i}{\tilde {\tau }}^{j})^{2}\geq 0}$

Висновок - кривини всіх геодезичних напрямлені приблизно в один бік, многовид не має сідлових точок, в яких би різні геодезичні викривлялися в протилежні боки.

Див. також

• Розклад Річчі
• Перетворення кривини
• Тензор кручення

Література

• Володимир Кіосак, Олександр Пришляк. Ріманова геометрія. Київ, мехмат КНУ, 2017. 49 с.
• ^[en]. (2018). Introduction to Riemannian Manifolds. Springer-Verlag. .