Нотація Штейнгауза — Мозера

Нотація Штейнгауза — Мозера — математична нотація для позначення великих чисел. Це розширення Мозера для полігонної нотації Штейнгауза.

Визначення

означає nⁿ.

означає «n всередині n вкладених трикутників».

означає «n всередині n вкладених квадратів».

Й так далі: n всередині (m + 1)-кутного полігона дорівнює "n всередині n вкладених m-кутних полігонів".

Зрозуміло, що вкладені полігони обчислюються починаючи із внутрішнього, наприклад, n в двох трикутниках дорівнює nⁿ в одному трикутнику, що дорівнює nⁿ в степені nⁿ.

Нотація Штейнгауза закінчувалась на пятикутнику, який він позначав колом: .

Часткові випадки

Штейнгауз та Мозер дали назви числам:

• мега — 2 в колі: ②
• мегістон — 10 в колі: ⑩
• мозер — «2 в мегагоні». Мегагон — полігон із ② сторін.

Рекурсивні формули

Нехай ${\displaystyle M(n,m,p)}$ — число n в m вкладених p-кутниках, тоді:

${\displaystyle M(n,1,3)=n^{n}}$

${\displaystyle M(n,1,p+1)=M(n,n,p)}$

${\displaystyle M(n,m+1,p)=M(M(n,1,p),m,p)}$

mega = ${\displaystyle M(2,1,5)}$

megiston = ${\displaystyle M(10,1,5)}$

moser = ${\displaystyle M(2,1,M(2,1,5))}$

Mega

Мега є досить великим числом: ② = M(2,1,5) = M(2,2,4) = M(256,256,3)

Побудуємо:

• M(256,2,3) = ${\displaystyle (256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}}$
• M(256,3,3) = ${\displaystyle (256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}}$≈${\displaystyle 256^{\,\!256^{256^{257}}}}$

далі:

• M(256,4,3) ≈ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}}$
• M(256,5,3) ≈ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}}$
• M(256,6,3) ≈ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}}}$

Отримаємо:

• mega = ${\displaystyle M(256,256,3)\approx (256\uparrow )^{256}257}$, де ${\displaystyle (256\uparrow )^{256}}$ кількість суперпозицій функції ${\displaystyle f(n)=256^{n}}$.

Округлюючи, отримаємо mega ≈ ${\displaystyle 256\uparrow \uparrow 257}$ в нотація Кнута.

Для оцінки кількості цифр в числі можна використати:

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 257<{\text{mega}}<10\uparrow \uparrow 258}$

Moser

Доведено, що в нотації Конвея та нотації Кнута,

${\displaystyle \mathrm {moser} <3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2,}$

${\displaystyle \mathrm {moser} <f^{3}(4)=f(f(f(4))),\quad f(n)=3\uparrow ^{n}3.}$

Хоча, moser — дуже велике число, воно дуже менше числа Грема:

${\displaystyle \mathrm {moser} \ll 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<f^{64}(4)={\text{Graham's number}}.}$

Див. також

• Функція Акермана

Джерела

• Robert Munafo's Large Numbers
• Factoid on Big Numbers
• Megistron at mathworld.wolfram.com (Steinhaus referred to this number as "megiston" with no "r".)
• Circle notation at mathworld.wolfram.com
• Steinhaus-Moser Notation - Pointless Large Number Stuff