Нерівність трьох квадратів

Нерівність Мюрхеда дозволяє порівнювати значення деяких симетричних многочленів на одному і тому ж наборі невід'ємних значень аргументів.

Означення

Якщо вектор дійсних чисел ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$ мажорує вектор дійсних чисел ${\displaystyle b=(b_{1},\dots ,b_{n})}$ тоді виконується нерівність для многочленів

${\displaystyle \sum _{\text{sym}}x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}}\geq \sum _{\text{sym}}x_{1}^{b_{1}}\cdots x_{n}^{b_{n}}}$,

для будь яких невідʼємних ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$.

Симетрична сума

В означенні використовується спеціальна нотація для сум одночленів зі степенями ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$

${\displaystyle \sum _{\text{sym}}x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}=\sum _{\sigma }x_{\sigma _{1}}^{\alpha _{1}}\cdots x_{\sigma _{n}}^{\alpha _{n}},}$

Сума береться по всіх перестановках ${\displaystyle \sigma }$ з елементів { 1, …, n }.

Для випадку ${\displaystyle n=3}$ треба знайти всі перестановки трьох змінних, тобто сума складається з ${\displaystyle 3!=6}$ додатків:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\text{sym}}x^{3}y^{2}z^{0}&=x^{3}y^{2}z^{0}+x^{3}z^{2}y^{0}+y^{3}x^{2}z^{0}+y^{3}z^{2}x^{0}+z^{3}x^{2}y^{0}+z^{3}y^{2}x^{0}\\&=x^{3}y^{2}+x^{3}z^{2}+y^{3}x^{2}+y^{3}z^{2}+z^{3}x^{2}+z^{3}y^{2}\end{aligned}}}$

Приклад 1

З нерівності Мюрхеда випливає нерівність середнього арифметичного та геометричного якщо застосувати її з векторами ${\displaystyle a=(1,0,\dots ,0)}$ та ${\displaystyle b=\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}$. Очевидно, що a мажорує b (${\displaystyle a\succ b}$)

${\displaystyle \sum _{\text{sym}}x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}}=\sum _{\text{i=1,n}}x_{i}\geq \sum _{\text{sym}}x_{1}^{b_{1}}\cdots x_{n}^{b_{n}}=n{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\dots x_{n}}}}$

Приклад 2

Для довільних дійсних чисел виконується нерівність

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+ac+bc.}$

Це часний випадок нерівності Мюрхеда степені 2 з векторами ${\displaystyle a=(2,0)}$ та ${\displaystyle b=(1,1)}$

Доведення

перенесемо всі члени в ліву частину і помножимо на 2:

${\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2ac-2bc\geq 0,}$

виділимо повні квадрати:

${\displaystyle (a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2}\geq 0.}$

Очевидно що рівність досягається тоді і тільки тоді, коли всі три числа рівні.

Джерела

• Многочлены. — 2-е. — Москва : МЦНМО, 2001. — 336 с. — .(рос.)
• З любов’ю до людей та математики... До 60-рiччя вiд дня народження В’ячеслава Андрiйовича Ясiнського. — Вiнниця : ТОВ «Нiлан-ЛТД», 2017. — 209 c.