В математиці, нерівність Шура, названа в честь німецького математика , стверджує, що для довільного додатнього дійсного числа та довільних невід'ємних дійсних чисел справджується наступна нерівність:
причому, рівність досягається тоді і тільки тоді, коли або або два з чисел рівні між собою, а третє є нулем.
Найбільш вживаним та відомим є випадок при , коли дана нерівність набуває вигляду
Доведення
Оскільки нерівність симетрична відносно змінних , то без обмеження загальності, вважатимемо
. Тоді нерівність Шура стає рівносильною наступній нерівності:
яка виконується з огляду на те, що . Також, очевидно що рівність можлива лиш при
або
та
. Врахувавши симетричні варіанти, маємо, що в початковій нерівності рівність досягається тоді і тільки тоді, коли або
або два з чисел
рівні між собою, а третє є нулем, що і треба було довести.
Узагальнення
Узагальненням нерівності Шура є наступна нерівність: для дійсних чисел та невід'ємних дійсних
:
яка справджується коли виконується хоч одна з наступних умов:
та
та
та
та
та
та
- сторони деякого трикутника
- квадрати сторін деякого трикутника
- сторони деякого трикутника
- квадрати сторін деякого трикутника
- Існує опукла функція або монотонна
, де
- це інтервал, що містить числа
,
,
, причому
,
,
В 2007 році румунський математик показав, що наступне узагальнення нерівності Шура справджується:
Якщо , причому
та або
чи
і
та
є або опуклою, або монотонною, то справджується наступна нерівність:
Неважко переконатись, що при ця нерівність перетворюється в нерівність Шура.
Див. також
Посилання
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет