У математиці, Многочлени Бернуллі — многочлени, названі на честь Якоба Бернуллі, що виникають при вивченні багатьох спеціальних функцій, зокрема ζ-функції Рімана і ζ-функції Гурвіца, також є окремим випадком . На відміну від ортогональних многочленів, многочлени Бернуллі визначні тим, що число коренів в інтервалі не збільшується із зростанням степеня многочлена. При необмеженому збільшенні степеня, многочлени Бернуллі наближаються до тригонометричних функцій.
Подібний набір многочленів, заснований на твірній функції, називають сімейством многочленів Ейлера.
Визначення
Многочлени Бернуллі можна визначити різними способами. Вибір визначення залежить від зручності в тому або іншому випадку.
Явна формула
, де
— біноміальні коефіцієнти,
— числа Бернуллі.
Або
Генератриса
Генератриса для многочленів Бернуллі рівна:
Генератриса для многочленів Ейлера рівна:
Представлення диференціальним оператором
Визначення за допомогою інтегрального оператора
Многочлени Бернуллі є єдиними многочленами, що задовольняють рівняння
Інтегральний оператор
для многочленів f, приймає ті ж значення, що й
Явний вигляд для найменших степенів
Многочленами Бернуллі для найменших степенів є:
Властивості
Значення в нулі
Значення многочленів Бернуллі при рівні відповідним числам Бернуллі:
.
Диференціювання і інтегрування
.
Невизначені інтеграли:
Визначені інтеграли:
Множення аргументу
.
Сума аргументу
Симетрія
Ряд Фур'є
Ряди Фур'є для многочленів Бернуллі є також рядами Діріхле:
Цей розклад справедливий коли 0 ≤ x ≤ 1 для n ≥ 2 і у випадку 0 < x < 1 для n = 1.
Обертання
Посилання
- Kurtulan, Ali Burak "Bernoulli Polynomials and Their Applications"[недоступне посилання з липня 2019]
Література
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)
- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York.
- Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag,
- Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 495–519. .
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici Mnogochleni Bernulli mnogochleni nazvani na chest Yakoba Bernulli sho vinikayut pri vivchenni bagatoh specialnih funkcij zokrema z funkciyi Rimana i z funkciyi Gurvica takozh ye okremim vipadkom Na vidminu vid ortogonalnih mnogochleniv mnogochleni Bernulli viznachni tim sho chislo koreniv v intervali 0 1 displaystyle 0 1 ne zbilshuyetsya iz zrostannyam stepenya mnogochlena Pri neobmezhenomu zbilshenni stepenya mnogochleni Bernulli nablizhayutsya do trigonometrichnih funkcij Podibnij nabir mnogochleniv zasnovanij na tvirnij funkciyi nazivayut simejstvom mnogochleniv Ejlera ViznachennyaMnogochleni Bernulli B n x displaystyle B n x mozhna viznachiti riznimi sposobami Vibir viznachennya zalezhit vid zruchnosti v tomu abo inshomu vipadku Yavna formula B n x k 0 n C n k B n k x k displaystyle B n x sum k 0 n C n k B n k x k de C n k displaystyle C n k binomialni koeficiyenti B k displaystyle B k chisla Bernulli Abo B n x m 0 n 1 m 1 k 0 m 1 k C m k x k n displaystyle B n x sum m 0 n frac 1 m 1 sum k 0 m 1 k C m k x k n Generatrisa Generatrisa dlya mnogochleniv Bernulli rivna t e x t e t 1 n 0 B n x t n n displaystyle frac te xt e t 1 sum n 0 infty B n x frac t n n Generatrisa dlya mnogochleniv Ejlera rivna 2 e x t e t 1 n 0 E n x t n n displaystyle frac 2e xt e t 1 sum n 0 infty E n x frac t n n Predstavlennya diferencialnim operatorom B n x D e D 1 x n displaystyle B n x D over e D 1 x n de displaystyle operator formalnogo diferenciyuvannya Viznachennya za dopomogoyu integralnogo operatora Mnogochleni Bernulli ye yedinimi mnogochlenami sho zadovolnyayut rivnyannya x x 1 B n u d u x n displaystyle int x x 1 B n u du x n Integralnij operator T f x x x 1 f u d u displaystyle Tf x int x x 1 f u du dlya mnogochleniv f prijmaye ti zh znachennya sho j T f x e D 1 D f x n 0 D n n 1 f x f x f x 2 f x 6 f x 24 displaystyle begin aligned Tf x e D 1 over D f x amp sum n 0 infty D n over n 1 f x amp f x f x over 2 f x over 6 f x over 24 cdots end aligned Yavnij viglyad dlya najmenshih stepeniv Mnogochlenami Bernulli dlya najmenshih stepeniv ye B 0 x 1 displaystyle B 0 x 1 B 1 x x 1 2 displaystyle B 1 x x frac 1 2 B 2 x x 2 x 1 6 displaystyle B 2 x x 2 x frac 1 6 B 3 x x 3 3 2 x 2 1 2 x displaystyle B 3 x x 3 frac 3 2 x 2 frac 1 2 x B 4 x x 4 2 x 3 x 2 1 30 displaystyle B 4 x x 4 2x 3 x 2 frac 1 30 B 5 x x 5 5 2 x 4 5 3 x 3 1 6 x displaystyle B 5 x x 5 frac 5 2 x 4 frac 5 3 x 3 frac 1 6 x B 6 x x 6 3 x 5 5 2 x 4 1 2 x 2 1 42 displaystyle B 6 x x 6 3x 5 frac 5 2 x 4 frac 1 2 x 2 frac 1 42 VlastivostiZnachennya v nuli Znachennya mnogochleniv Bernulli pri x 0 displaystyle x 0 rivni vidpovidnim chislam Bernulli B n 0 B n displaystyle B n 0 B n Diferenciyuvannya i integruvannya B n x n B n 1 x displaystyle B n x nB n 1 x Neviznacheni integrali a x B n t d t B n 1 x B n 1 a n 1 displaystyle int a x B n t dt frac B n 1 x B n 1 a n 1 Viznacheni integrali 0 1 B n t B m t d t 1 n 1 m n m n B n m m n 1 displaystyle int 0 1 B n t B m t dt 1 n 1 frac m n m n B n m quad m n geq 1 Mnozhennya argumentu B n m x m n 1 s 0 m 1 B n x s m displaystyle B n mx m n 1 sum s 0 m 1 B n left x frac s m right Suma argumentu B n x y k 0 n n k B k x y n k displaystyle B n x y sum k 0 n n choose k B k x y n k Simetriya B n 1 x 1 n B n x displaystyle B n 1 x 1 n B n x 1 n B n x B n x n x n 1 displaystyle 1 n B n x B n x nx n 1 Ryad Fur yeRyadi Fur ye dlya mnogochleniv Bernulli ye takozh ryadami Dirihle B n x n 2 p i n k 0 e 2 p i k x k n 2 n k 1 cos 2 k p x n p 2 2 k p n displaystyle B n x frac n 2 pi i n sum k not 0 frac e 2 pi ikx k n 2n sum k 1 frac cos left 2k pi x frac n pi 2 right 2k pi n Cej rozklad spravedlivij koli 0 x 1 dlya n 2 i u vipadku 0 lt x lt 1 dlya n 1 Obertannyax n 1 n 1 k 0 n n 1 k B k x displaystyle x n frac 1 n 1 sum k 0 n n 1 choose k B k x PosilannyaKurtulan Ali Burak Bernoulli Polynomials and Their Applications nedostupne posilannya z lipnya 2019 LiteraturaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2300 s ukr Milton Abramowitz and Irene A Stegun eds Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs and Mathematical Tables 1972 Dover New York Apostol Tom M 1976 Introduction to analytic number theory Undergraduate Texts in Mathematics New York Heidelberg Springer Verlag ISBN 978 0 387 90163 3 Hugh L Montgomery Robert C Vaughan 2007 Multiplicative number theory I Classical theory Cambridge tracts in advanced mathematics 97 Cambridge Cambridge Univ Press pp 495 519 ISBN 0 521 84903 9 Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi