Миттєвий центр швидкостей

Миттє́вим це́нтром швидкосте́й (МЦШ) називається точка рухомої плоскої фігури, що здійснює плоскопаралельний рух, швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулю ${\displaystyle \left({\vec {V}}_{P}=0\right)}$. Вказана точка може бути розташована або на самій рухомій фігурі, або на її уявному продовженні.

Миттєвий центр швидкостей P для випадку плоско паралельного руху

Доведення

Доведення існування миттєвого центру швидкостей при плоскопаралельному русі

Нехай задано фігуру S, що здійснює плоский рух і швидкість ${\displaystyle {\vec {V}}_{A}}$ деякої точки А цієї фігури вважається відомою а також, кутова швидкість ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ обертання фігури.

Якщо побудувати у точці А перпендикуляр до вектора швидкості ${\displaystyle {\vec {V}}_{A}}$, який напрямлений у бік отриманий поворотом вектора швидкості за напрямком обертання фігури і відкласти на цьому перпендикулярі відрізок довжиною ${\displaystyle AP={\frac {V_{A}}{\omega }}}$, то обравши точку А за полюс, швидкість точки Р даної фігури буде визначатись за допомогою наступного векторного рівняння:

${\displaystyle {\vec {V}}_{P}={\vec {V}}_{A}+{\vec {V}}_{PA}}$.

З цього виразу знайдемо швидкість ${\displaystyle {\vec {V}}_{PA}}$. Вона буде дорівнювати:

${\displaystyle \left|{\vec {V}}_{PA}\right|=\omega \cdot AP=\omega {\frac {\left|{\vec {V}}_{A}\right|}{\omega }}=\left|{\vec {V}}_{A}\right|}$.

Вектор швидкості ${\displaystyle {\vec {V}}_{PA}}$ буде спрямований протилежно до вектора швидкості ${\displaystyle {\vec {V}}_{A}}$, тобто

${\displaystyle {\vec {V}}_{PA}={\vec {V}}_{A}.}$.

Тоді, з врахуванням цього, з виразу для швидкості точки P отримаємо:

${\displaystyle {\vec {V}}_{P}={\vec {V}}_{A}-{\vec {V}}_{A}=0.}$

Таким чином, швидкість точки P дорівнює нулю, чим і доведено існування миттєвого центру швидкостей (МЦШ).

Можна довести, що при плоскопаралельному непоступальному русі плоскої фігури в кожний момент часу існує, і при тому єдина, точка з нульовою швидкістю.

Абсолютні значення швидкостей всіх точок плоскої фігури будуть прямо пропорційними їх відстаням до МЦШ, а напрями векторів швидкостей будуть перпендикулярними до прямих, які з'єднують ці точки з МЦШ. Саме тому МЦШ називають також миттєвим центром обертання.

Теорема Ейлера-Шаля

Центроїди при плоскопаралельному русі

Рух плоскої фігури в її площині уявляється як неперервна послідовність миттєвих обертань навколо відповідних миттєвих центрів обертань (МЦО). За теоремою Ейлера-Шаля плоский рух уявляється як обертальний рух навколо миттєвого центра обертань, або центра швидкостей.

Миттєвим центром обертань є точка нерухомої площини, з якою у даний момент часу збігається миттєвий центр швидкостей (МЦШ).

Згідно з теоремою обертання Ейлера, будь-яке обертове тривимірне тіло, що має нерухому точку, також має і вісь обертання. Таким чином, у загальнішому випадку обертання тривимірного тіла говорять про миттєву вісь обертання. Миттєвий центр обертання є точкою перетину миттєвої осі обертань з площиною руху.

Будь-який неперервний рух плоскої фігури в її площині можна одержати, якщо побудувати рухому і нерухому центроїди, жорстко з'єднати першу з них з плоскою фігурою і котити без ковзання рухому центроїду по нерухомій.

Центроїдою називається геометричне місце миттєвих центрів швидкостей (МЦШ).

При плоскопаралельному русі утворюються дві центроїди, оскільки миттєвий центр швидкостей описує одну криву в нерухомій системі координат, а другу в рухомій. Нерухома центроїда — це траєкторія миттєвого центра швидкостей на нерухомій площині, рухома центроїда — це траєкторія миттєвого центра швидкостей на рухомій площині. Рухома центроїда PN котиться без ковзання по нерухомій PL (див. рисунок). Поняття про центроїди широко застосовується у теорії машин і механізмів при профілюванні зубчатих коліс.

Полюсом є миттєвий центр швидкостей (МЦШ), тобто така точка Р рухомої площини, жорстко скріплена з фігурою, швидкість якої в певний момент часу дорівнює нулю: ${\displaystyle {\vec {V}}_{P}=0}$.

Тоді ${\displaystyle V_{B}=V_{BP}=\left|\omega \right|\cdot BP}$, тобто швидкість будь-якої точки фігури дорівнює за величиною добутку модуля кутової швидкості фігури на відстань від цієї точки до МЦШ та спрямована перпендикулярно до цього відрізку ${\displaystyle \left({\vec {V}}_{B}\perp BP\right)}$ проти ходу годинникової стрілки, якщо ${\displaystyle \omega >0}$ і навпаки.

Розподіл миттєвих швидкостей точок плоскої фігури такий, немовби фігура оберталася навколо МЦШ (точка Р). З цього маємо співвідношення

${\displaystyle {\frac {V_{B}}{V_{A}}}={\frac {BP}{AP}}.}$

. Отже, відношення швидкостей двох точок плоскої фігури дорівнює відношенню їхніх відстаней до миттєвого центра швидкостей, або

${\displaystyle {\frac {V_{A}}{AP}}={\frac {V_{B}}{BP}}=\cdots =\left|\omega \right|.}$

Випадки знаходження миттєвого центра швидкостей плоскої фігури

Випадок 1 (загальний)

У загальному випадку (див. рисунок вгорі) для знаходження МЦШ потрібно знати лише напрям швидкостей двох точок фігури. Для цього з початку векторів швидкостей зазначених двох точок (наприклад А, В і C) проводимо перпендикуляри. У точці перетину цих перпендикулярів і знаходиться миттєвий центр швидкостей (точка Р).

Кутова швидкість плоскої фігури у кожний момент часу дорівнює відношенню швидкості будь-якої точки фігури до її відстані до МЦШ:

${\displaystyle \omega ={\frac {V_{A}}{AP}}={\frac {V_{B}}{BP}}={\frac {V_{C}}{CP}}=\cdots }$

Часткові випадки знаходження МЦШ

Випадок 2 (для двох паралельних однонаправлених швидкостей)

Відомі за величиною швидкості двох точок А і В фігури, які паралельні одна одній, напрямлені в один бік і перпендикулярні до прямої АВ ${\displaystyle \left({\vec {V}}_{A}||{\vec {V}}_{B}\right)}$ (варіант а на рисунку).

МЦШ (точка Р) знаходиться в точці перетину прямої АВ і прямої, що з'єднує кінці векторів швидкостей точок А і В:

${\displaystyle \omega _{AB}={\frac {V_{A}}{AP}}={\frac {V_{B}}{BP}};\quad \left(V_{B}\perp AB,\quad V_{A}\perp AB\right).}$

Випадок 3 (для двох протилежно направлених паралельних швидкостей)

Якщо швидкості двох точок плоскої фігури напрямлені в різні боки і перпендикулярні до відрізка, що з'єднує ці точки, то миттєвий центр швидкостей лежить у точці перетину прямої, яка з'єднує кінці векторів швидкостей з наведеним вище відрізком (варіант б на рисунку).

Випадок 4 (для двох однакових паралельних однаково направлених швидкостей)

Якщо швидкості двох точок плоскої фігури паралельні й рівні між собою, напрямлені в один бік, то миттєвий центр швидкості віддаляється на нескінченну велику відстань, тобто МЦШ відсутній, ${\displaystyle \omega =0}$, і миттєві швидкості всіх точок фігури рівні між собою:${\displaystyle {\vec {V}}_{A}={\vec {V}}_{B}={\vec {V}}_{C}=\cdots }$ (варіант в на рисунку).

Це випадок миттєво-поступального руху тіла: відстань до МЦШ прямує до нескінченності і ${\displaystyle \omega ={\frac {V_{A}}{\infty }}=0.}$.

Миттєвий центр швидкостей (точка P) при коченні тіла

Випадок 5 (кочення без ковзання)

У разі кочення без ковзання рухомого контуру плоскої фігури по нерухомому МЦШ лежить у точці дотику цих контурів. Кутова швидкість ${\displaystyle \omega ={\frac {V_{A}}{AP}};\quad V_{B}=\omega \cdot BP;\quad V_{C}=\omega \cdot CP.}$

Див. також

• Плоскопаралельний рух
• Поступальний рух
• Обертання

Джерела

• Павловський М. А. Теоретична механіка: Підручник для студентів вищих навчальних закладів. — К.: Техніка, 2002. — 512 с. .
• Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1986. — 416 с.

Посилання