Метод Кранка-Ніколсон

Метод Кранка-Ніколсон — це спеціальний чисельний метод розв'язку диференціальних рівнянь з частинними похідними в обчислювальній математиці, за допомогою особливої схеми методу скінченних різниць, зокрема для рівняння теплопровідності та дифузії. Це неявний метод 2 порядку і є чисельно стабільним щодо кроку різницевої сітки. Метод винайшли в середині 20-го століття англійські вчені Джон Кранк та .

Для рівняння теплопровідності, дифузії і можна довести, що метод Кранка-Ніколсон є безумовно чисельно стабільним. Проте, при використанні великого кроку сітки (коли ${\displaystyle \Delta t/\Delta x^{2}>0.5}$) розв'язок може містити сильні коливання. У випадку, коли крок різницевої сітки змінити неможливо, при нестабільності розв'язку рекомендується використовувати менш точний, але також чисельно стабільний неявний .

Опис методу

Різницева схема сітки в методі Кранка-Ніколсон для одновимірної задачі

Неявна схема, яку винайшли Джон Кранк та Филліс Ніколсон ґрунтується на чисельному наближенню параболічного диференціального рівняння другого порядку. Як приклад візьмемо одновимірне рівняння теплопровідності

${\displaystyle u_{t}(x,t)=c^{2}u_{xx}(x,t)}$

для ${\displaystyle 0\leq x<a}$ та ${\displaystyle 0<t<b}$ з початковою умовою ${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$ та крайовими умовами ${\displaystyle u(0,t)=g_{1}(t)}$ ; ${\displaystyle u(a,t)=g_{2}(t)}$ в точці ${\displaystyle (x,t+\Delta t/2)}$ котра знаходиться між рядами різницевої сітки з кроком ${\displaystyle h=\Delta x}$ та ${\displaystyle k=\Delta t}$.

Тоді для похідних отримаємо

${\displaystyle u_{t}(x,t+k/2)={\frac {u(x,t+k)-u(x,t)}{k}}+O(k^{2})}$

${\displaystyle u_{xx}(x,t+k/2)={\frac {1}{2h^{2}}}\left(u(x-h,t+k)-2u(x,t+k)+u(x+h,t+k)+u(x-h,t)-2u(x,t)+u(x+h,t)\right)+O(h^{2})}$

Тобто використовується середнє значення наближень похідних ${\displaystyle u_{xx}(t,k)}$ та ${\displaystyle u_{xx}(x,t+k)}$ для наближення ${\displaystyle u_{xx}(x,t+k/2)}$

Підставляючи ці вирази в рівняння теплопровідності (і спрощуючи запис ${\displaystyle u(x_{j},t_{n})\rightarrow u_{j,n}}$ ) отримаємо

${\displaystyle {\frac {u_{j,n+1}-u_{j,n}}{k}}=c^{2}{\frac {u_{j-1,n+1}-2u_{j,n+1}+u_{j+1,n+1}+u_{j-1,n}-2u_{j,n}+u_{j+1,n}}{2h^{2}}}}$

Використовуємо для зручності ${\displaystyle r=c^{2}k/h^{2}}$ і переносимо всі значення функції з часом ${\displaystyle t+k}$ в ліву частину рівняння.

Після впорядкування членів рівняння отримаємо неявну різницеву схему для ${\displaystyle j=2,3,...,N-1}$

${\displaystyle -r\,u_{j-1,n+1}+(2+2r)u_{j,n+1}-r\,u_{j+1,n+1}=(2-2r)u_{j,n}+r(u_{j-1,n}+u_{j+1,n})}$

Рівняння у такій формі має вигляд тридіагональної системи алгебраїчних рівнянь

${\displaystyle AX=B}$

і розв'язується звичайними прямими чи ітераційними методами лінійної алгебри.

В схемі Кранка-Ніколсон використовується шість точок основної різницевої сітки для наближення проміжної точки ${\displaystyle u_{xx}(x,t+k/2)}$, на якій базуються всі чисельні наближення.