Лема Стейніца про заміну — твердження в лінійній алгебрі про те, що довільну множину лінійно незалежних векторів у (скінченновимірному) лінійному просторі можна доповнити до базису простору елементами деякого заданого базису. Лема використовується в доведенні твердження про однакову кількість елементів у всіх базисах скінченновимірного лінійного простору.
Названа на честь німецького математика Ернста Стейніца.
Твердження Леми
Нехай — базис лінійного простору а — множина лінійно незалежних векторів. Тоді:
- Серед векторів можна вибрати підмножину з векторів, які разом з утворюють базис простору .
Доведення
Доведення здійснюється методом математичної індукції за величиною .
Для , є пустою множиною і тоді .
Припустимо твердження є справедливим для всіх множин , для яких . Покажемо справедливість для .
Визначимо множину і . З припущення індукції і існує підмножина , така що і . Для визначеності припустимо що .
Оскільки множина є базисом лінійного простору то:
для деяких скалярів .
Для деякого , виконується , бо в іншому разі , що суперечить лінійній незалежності векторів з . Без втрати загальності нехай .
Тоді
- .
Тоді , тобто для кожного визначені скаляри , для яких
- .
Достатньо взяти . Тоді .
Також . Якщо б було , то і відповідно , що суперечило б лінійній незалежності . Оскільки < то .
Джерела
- Cohn, P. M. (1982), Algebra, т. Vol. 1 (вид. 2nd), Chichester: John Wiley & Sons, с. xv+410, ISBN
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Lema Stejnica pro zaminu tverdzhennya v linijnij algebri pro te sho dovilnu mnozhinu linijno nezalezhnih vektoriv u skinchennovimirnomu linijnomu prostori mozhna dopovniti do bazisu prostoru elementami deyakogo zadanogo bazisu Lema vikoristovuyetsya v dovedenni tverdzhennya pro odnakovu kilkist elementiv u vsih bazisah skinchennovimirnogo linijnogo prostoru Nazvana na chest nimeckogo matematika Ernsta Stejnica Tverdzhennya LemiNehaj X v 1 v n displaystyle X v 1 ldots v n bazis linijnogo prostoru V displaystyle V a Y w 1 w s displaystyle Y w 1 ldots w s mnozhina linijno nezalezhnih vektoriv Todi s n displaystyle s leqslant n Sered vektoriv v 1 v n displaystyle v 1 ldots v n mozhna vibrati pidmnozhinu X displaystyle X z n s displaystyle n s vektoriv yaki razom z w 1 w s displaystyle w 1 ldots w s utvoryuyut bazis prostoru V displaystyle V Dovedennya Dovedennya zdijsnyuyetsya metodom matematichnoyi indukciyi za velichinoyu s Y displaystyle s Y Dlya s 0 displaystyle s 0 Y displaystyle Y ye pustoyu mnozhinoyu i todi X X displaystyle X X Pripustimo tverdzhennya ye spravedlivim dlya vsih mnozhin Y displaystyle Y dlya yakih Y s 1 displaystyle Y s 1 Pokazhemo spravedlivist dlya Y s displaystyle Y s Viznachimo mnozhinu Y w 1 w s displaystyle Y w 1 ldots w s i Y 1 w 1 w s 1 displaystyle Y 1 w 1 ldots w s 1 Z pripushennya indukciyi s 1 n displaystyle s 1 leqslant n i isnuye pidmnozhina X 1 X displaystyle X 1 subset X taka sho X 1 n s 1 displaystyle X 1 n s 1 i X 1 Y 1 V displaystyle langle X 1 cup Y 1 rangle V Dlya viznachenosti pripustimo sho X 1 v 1 v n s 1 displaystyle X 1 lbrace v 1 ldots v n s 1 rbrace Oskilki mnozhina X 1 Y 1 v 1 v n s 1 w 1 w s 1 displaystyle langle X 1 cup Y 1 rangle langle v 1 ldots v n s 1 w 1 ldots w s 1 rangle ye bazisom linijnogo prostoru to w s a 1 v 1 a n s 1 v n s 1 b 1 w 1 b s 1 w s 1 displaystyle w s alpha 1 v 1 ldots alpha n s 1 v n s 1 beta 1 w 1 ldots beta s 1 w s 1 dlya deyakih skalyariv a i b i displaystyle alpha i beta i Dlya deyakogo i displaystyle i vikonuyetsya a i 0 displaystyle alpha i neq 0 bo v inshomu razi w s b 1 w 1 b s 1 w s 1 displaystyle w s beta 1 w 1 ldots beta s 1 w s 1 sho superechit linijnij nezalezhnosti vektoriv z Y displaystyle Y Bez vtrati zagalnosti nehaj a n s 1 0 displaystyle alpha n s 1 neq 0 Todi v n s 1 a n s 1 1 w s a 1 v 1 a n s v n s b 1 w 1 b s 1 w s 1 displaystyle v n s 1 alpha n s 1 1 w s alpha 1 v 1 ldots alpha n s v n s beta 1 w 1 ldots beta s 1 w s 1 Todi V v 1 v n s w 1 w s displaystyle V langle v 1 ldots v n s w 1 ldots w s rangle tobto dlya kozhnogo v V displaystyle v in V viznacheni skalyari a i b i displaystyle alpha i beta i dlya yakih v a 1 v 1 a n s 1 v n s 1 b 1 w 1 b s 1 w s 1 displaystyle v alpha 1 v 1 ldots alpha n s 1 v n s 1 beta 1 w 1 ldots beta s 1 w s 1 Dostatno vzyati X v 1 v n s displaystyle X v 1 ldots v n s Todi X Y V displaystyle langle X cup Y rangle V Takozh s 1 lt n displaystyle s 1 lt n Yaksho b bulo s 1 n displaystyle s 1 n to Y 1 V displaystyle langle Y 1 rangle V i vidpovidno w s Y 1 displaystyle w s in langle Y 1 rangle sho superechilo b linijnij nezalezhnosti Y displaystyle Y Oskilki s 1 displaystyle s 1 lt n displaystyle n to s n displaystyle s leqslant n DzherelaCohn P M 1982 Algebra t Vol 1 vid 2nd Chichester John Wiley amp Sons s xv 410 ISBN 0 471 10169 9