Крайові задачі

Крайова задача — задача теорії диференціальних рівнянь, в якій межові умови задаються в різних точках. Наприклад, при коливаннях струни із закріпленеми кінцями зміщення на кожному з кінців дорівнює нулю.

Крайові задачі складніше розв'язувати, ніж задачі Коші, особливо чисельно.

Крайові задачі виникають як в теорії звичайних диференційних рівнянь, так і в теорії диференційних рівнянь із частковими похідними, особливо рівнянь еліптичного типу.

Особливий вид краєвої задачі — вимога певної поведінки фукнції (скінченності) при прямуванні аргументу до нескінченності або в околі особливих точок.

Нехай ${\displaystyle \Omega }$ - область на площині ${\displaystyle x,y}$ із межею ${\displaystyle \Gamma .}$

Важливими задачами є:

${\displaystyle u(x,y)|_{(x,y)\in \Gamma }=\varphi (x,y)}$ - перша крайова задача, задача Діріхле

${\displaystyle {\frac {\partial u(x,y)}{\partial n}}\vert _{(x,y)\in \Gamma }=\varphi (x,y)=\psi (x,y)}$ - друга крайова задача, задача Неймана

${\displaystyle au(x,y)+b{\frac {\partial u(x,y)}{\partial n}}=\chi (x,y)}$ для ${\displaystyle (x,y)}$ на ${\displaystyle \Gamma }$ - третя крайова задача, задача Робіна

Методи розв'язання крайових задач

Метод сіток

Розглядається не континуум точок площини ${\displaystyle x,y,}$ а зліченна множина дискретних точок ${\displaystyle \Pi _{ij}=(x_{i},y_{i}).}$

Якщо область ${\displaystyle \Omega }$ розмістити на сітці, то одні точки сітки попадуть всередину, а інші виявляться назовні області. Дискретна ${\displaystyle \Omega ^{*}}$ область складається з точок сітки, які лежать всередині області ${\displaystyle \Omega }$, точки сітки, найближчі до межі й які лежать або всередині, або ззовні (це залежить від постановки задачі), розраховують як точки дискредної межі ${\displaystyle \Gamma ^{*}.}$ У цьому випадку дискретна область ${\displaystyle {\tilde {\Omega }}^{*}=\Omega ^{*}\bigcup \Gamma }$ складається лише з точок сітки.

Друга можливість полягає у тому, що додають точки перетину ${\displaystyle \Gamma }$ із прямими сітки як нерегулярні граничні точки.

Похідні, які зустрічаються у розглядуваному диференціальному рівнянні, замінюються у кожній точці сітки ${\displaystyle \Pi _{ij}=(x_{i},y_{i})}$ на відповідні різнісні відношення. Наприклад,

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}\vert _{ij}={\frac {1}{2h}}(-u_{i-1,j}+u_{i+1,j})+O(h^{2}).}$

Такі вирази називаються також молекулами й пишуються у вигляді наочних структурних формул.

П'ятиточкові молекули для оператора Лапласа (квадратна сітка):

Якщо область ${\displaystyle \Omega }$ така, що для достатньо простої сітки за відповідно обраного розташування межа ${\displaystyle \Gamma }$ складається лише з сіткових прямих, то крайові значення задаються у граничних сіткових точках й уводяться відповідні молекули, якщо вони включають такі точки.

Наприклад, рівняння Пуасона у прямокутнику

${\displaystyle \Omega =\{(x,y)|0\leq x\leq 4k,\,\,0\leq y\leq 3h\}.}$

Сітка ${\displaystyle (x_{i},y_{i})=(ik,jh),}$

${\displaystyle \Omega ^{*}=\{(ik,jh)|0\leq i\leq 4,\,\,4\leq j\leq 3\}}$ - регулярна межа.

Нехай ${\displaystyle \Omega }$ є областю на площині ${\displaystyle x,y}$ із межею ${\displaystyle \Gamma .}$ Потрібно віднайти функцію ${\displaystyle u(x,y),}$ яка задовільняє ${\displaystyle \Omega }$ рівнянню Пуасона

${\displaystyle \Delta u=u_{xx}^{\prime \prime }+u_{yy}^{\prime \prime }=g(x,y).}$

При застосуванні молекули ліворуч

${\displaystyle U_{i-1,j}+U_{i+1,j}+U_{i,j-1}+U_{i,j+1}-4U_{ij}=h^{2}f_{ij}}$

як дискретний аналог рівняння Пуасона (через ${\displaystyle U_{ij}}$ позначене наближення для ${\displaystyle u(x_{i},y_{j})=u_{ij}}$).

Якщо записати усі рівняння, для яких "центральний елемент" ${\displaystyle u_{ij}}$ є внутрішньою точкою (тобто ${\displaystyle 1\leq i\leq 3,\,\,1\leq j\leq 2}$), то

${\displaystyle {\underline {U_{01}}}+U_{21}+{\underline {U_{10}}}+U_{12}-4U_{11}=h^{2}f_{11}}$

${\displaystyle U_{11}+U_{31}+{\underline {U_{20}}}+U_{22}-4U_{21}=h^{2}f_{21}}$

${\displaystyle U_{21}+{\underline {U_{41}}}+{\underline {U_{30}}}+U_{32}-4U_{31}=h^{2}f_{31}}$

${\displaystyle {\underline {U_{02}}}+U_{22}+U_{10}+{\underline {U_{13}}}-4U_{12}=h^{2}f_{12}}$

${\displaystyle U_{12}+U_{32}+U_{20}+{\underline {U_{23}}}-4U_{22}=h^{2}f_{22}}$

${\displaystyle U_{22}+{\underline {U_{42}}}+U_{30}+{\underline {U_{33}}}-4U_{32}=h^{2}f_{32}}$

Підкреслені значення можуть бути перенесені праворуч.

Тоді в якості дискретного аналогу задачі є система лінійних рівнянь:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-4&1&0&1&0&0\\1&-4&1&0&1&0\\0&1&-4&0&0&1\\1&0&0&-4&1&0\\0&1&0&1&-4&1\\0&0&1&0&1&-4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{11}\\U_{21}\\U_{31}\\U_{12}\\U_{22}\\U_{32}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h_{11}^{2}-U_{01}-U_{10}\\h^{2}f_{21}-U_{20}\\h^{2}f_{31}-U_{41}-U_{30}\\h^{2}f_{12}-U_{02}-U_{13}\\h^{2}f_{22}-U_{23}\\h^{2}f_{32}-U_{42}-U_{33}\end{pmatrix}}.}$

Для рішення таких систем застосовують ітераційні методи, хоча можуть застосовуватися методи, які використовують блокову структуру.

Чисельні

• Метод стрільби

Див. також

Джерела

1. Е. А. Волков, О решении краевых задач для уравнения Пуассона в прямоугольнике, Докл. АН СССР, 1962, том 147, номер 1, 13–16.