Комп'ютер для операцій з функціями

Комп'ютер для операцій з математичними функціями (на відміну від звичайного комп'ютера) оперує з функціями на апаратному рівні (тобто без програмування цих операцій).

Історія

Обчислювальна машина для операцій з функціями була запропонована і розроблена Карцевим в 1967 році. У число операцій цієї обчислювальної машини входили додавання, віднімання і множення функцій, порівняння функцій, аналогічні операції над функцією і числом, відшукання максимуму функцій, обчислення невизначеного інтеграла, обчислення певного інтеграла від похідної двох функцій, зсув функції з абсциси і т. д. За архітектурою ця обчислювальна машина була (користуючись сучасною термінологією) векторним процесором. У ній використовувався той факт, що багато з цих операцій можуть бути витлумачені як відомі операції над векторами: додавання і віднімання функцій — як додавання і віднімання векторів, обчислення певного інтеграла від похідної двох функцій — як обчислення скалярного добутку двох векторів, зсув функцій з абсциси — як поворот вектора щодо осей координат і т. д. У 1966 році Хмєльник запропонував метод кодування функцій , тобто представлення функції єдиним (для функції в цілому) позиційним кодом. При цьому зазначені операції з функціями виконуються як унікальні машинні операції з такими кодами на єдиному арифметичному пристрої

Позиційні коди функцій одного аргументу

Основна ідея

Позиційний код цілого числа ${\displaystyle A}$ являє собою запис цифр ${\displaystyle \alpha }$ цього числа в деякій позиційній системі числення, що має вигляд

${\displaystyle A=\alpha _{0}\alpha _{1}\dots \alpha _{k}\dots \alpha _{n}}$

Такий код можна назвати лінійним. На відміну від нього позиційний код функції ${\displaystyle F(x)}$ одного аргументу ${\displaystyle x}$ має вигляд

${\displaystyle F(x)={\begin{pmatrix}\ &\ &\cdots \\\ &\ &\alpha _{22}\cdots \alpha _{2k}\cdots \\\ &\alpha _{11}&\alpha _{12}\cdots \alpha _{1k}\cdots \\\alpha _{00}&\alpha _{01}&\alpha _{02}\cdots \alpha _{0k}\cdots \end{pmatrix}}}$

тобто є плоским і трикутним, оскільки цифри в ньому утворюють трикутник.

Вказаному позиційному коду цілого числа відповідає сума виду

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}\rho ^{k}}$,.

де ${\displaystyle \rho }$ — підстава даної системи числення. Вказаному позиційному коду функції одного аргументу відповідає подвійна сума виду

${\displaystyle F(x)=\sum _{k=0}^{n}\sum _{m=0}^{k}\alpha _{mk}R^{k}y^{k-m}(1-y)^{m}}$,

де ${\displaystyle R}$ — ціле позитивне число, кількість значень цифри ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle y}$ — певна функція аргументу ${\displaystyle x}$.

Додавання позиційних кодів чисел пов'язане з передачею перенесення в старший розряд за схемою

${\displaystyle \alpha _{k}\longrightarrow \alpha _{k+1}}$.

Додавання позиційних кодів функцій одного аргументу також пов'язане з передачею перенесення за схемою

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\ \ &\alpha _{k+1,m+1}\\\ \nearrow &\ \\\alpha _{k,m}\longrightarrow &\alpha _{k+1,m}\end{pmatrix}}}$.

При цьому одне і теж перенесення передається одночасно в два старших розряди.

R-ті трикутні коди

Трикутний код називається R-м (і позначається як ${\displaystyle TK_{R}}$), якщо числа ${\displaystyle \alpha _{mk}}$ приймають значення з множини

${\displaystyle D_{R}=\{-r_{1},-r_{1}+1,\dots ,-1,0,1,\dots ,r_{2}-1,r_{2}\},}$ де ${\displaystyle r_{1},\;r_{2}\geq 0}$ и ${\displaystyle R_{}^{}=r_{1}+r_{2}+1}$.

Наприклад, трикутний код є потрійним ${\displaystyle TK_{3}}$, якщо ${\displaystyle \alpha _{mk}\in (-1,0,1)}$, і — четверичним ${\displaystyle TK_{4}}$, якщо ${\displaystyle \alpha _{mk}\in (-2,-1,0,1)}$.

Для R-х трикутних кодів справедливі наступні рівності:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &a\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &a\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\ \ &a\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &-a\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &-a\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &0\end{pmatrix}}}$,

де a — будь-яке число. існує ${\displaystyle TK_{R}}$ будь-якого цілого дійсного числа. Зокрема, ${\displaystyle TK_{R}(\alpha )=\alpha }$. Також існує ${\displaystyle TK_{R}}$ любої функції виду ${\displaystyle y^{k}}$. Зокрема, ${\displaystyle TK_{R}(y^{2})=(0\ 0\ 1)}$.

Однорозрядне складання

У R-х трикутних кодах полягає в тому, що

• у даному ${\displaystyle (mk)}$-розряді визначається сума ${\displaystyle S_{mk}^{}}$ складових розрядів ${\displaystyle \alpha _{mk},\ \beta _{mk}}$ і двох перенесень ${\displaystyle p_{m,k-1},\ p_{m-1,k-1}}$, що поступили в цей розряд ліворуч, тобто

${\displaystyle S_{mk}^{}=\alpha _{mk}\beta _{mk}p_{m,k-1}p_{m-1,k-1}}$,

• ця сума представляється у вигляді ${\displaystyle S_{mk}^{}=\sigma _{mk}Rp_{mk}}$, де ${\displaystyle \sigma _{mk}\in D_{R}}$,
• ${\displaystyle \sigma _{mk}}$ записується в ${\displaystyle (mk)}$-розряд сумарного коду, а перенесення ${\displaystyle p_{mk}}$ з цього розряду передається в ${\displaystyle (m,k1)}$-разряд і ${\displaystyle (m1,k1)}$-розряд.

Ця процедура описується(як і при однорозрядному складанні чисел) таблицею однорозрядного складання, де мають бути присутніми усі значення доданків ${\displaystyle \alpha _{mk}\in D_{R}}$ і ${\displaystyle \beta _{mk}\in D_{R}}$ і усі значення перенесень, що виникають при розкладанні суми ${\displaystyle S_{mk}^{}=\sigma _{mk}Rp_{mk}}$. Така таблиця може бути синтезована при ${\displaystyle R>2.}$

Нижче приведена таблиця однорозрядного складання при ${\displaystyle R=3}$:

Smk	TK(Smk)		${\displaystyle \sigma _{mk}^{}}$	${\displaystyle p_{mk}^{}}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	0	.	.
1	1	0	1	0
.	.	0	.	.
(-1)	(-1)	0	(-1)	0
.	.	1	.	.
2	(-1)	1	(-1)	1
.	.	1	.	.
3	0	1	0	1
.	.	1	.	.
4	1	1	1	1
.	.	(-1)	.	.
(-2)	1	(-1)	1	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-3)	0	(-1)	0	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-4)	(-1)	(-1)	(-1)	(-1)

Однорозрядне віднімання

у R-х трикутних кодах відрізняється від однорозрядного складання тільки тим, що в даному ${\displaystyle (mk)}$-розряді величина ${\displaystyle S_{mk}^{}}$ визначається по формулі

${\displaystyle S_{mk}^{}=\alpha _{mk}-\beta _{mk}p_{m,k-1}p_{m-1,k-1}}$.

Однорозрядне ділення на параметр R

у R-х трикутних кодах ґрунтовано на використанні співвідношення

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\ \ &a\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &-a\end{pmatrix}}}$,

звідки витікає, що ділення кожного розряду викликає перенесення в два нижні розряди. Отже, розрядний результат в цій операції є сумою частки від ділення цього розряду на R і перенесень з двох верхніх розрядів. Таким чином, при діленні на параметр R

• у даному ${\displaystyle (mk)}$-розряді визначається сума

${\displaystyle S_{mk}^{}=\alpha _{mk}/R-p_{m1,k}/Rp_{m1,k1}}$,

• ця сума представляється у вигляді ${\displaystyle S_{mk}^{}=\sigma _{mk}p_{mk}/R}$, де ${\displaystyle \sigma _{mk}\in D_{R}}$,
• ${\displaystyle \sigma _{mk}}$ записується в ${\displaystyle (mk)}$-розряд результуючого коду, а перенесення ${\displaystyle p_{mk}}$ з цього розряду передається в ${\displaystyle (m-1,k-1)}$-разряд і ${\displaystyle (m-1,k)}$-розряд.

Ця процедура описується таблицею однорозрядного ділення на параметр R, де мають бути присутніми усі значення доданків і усі значення перенесень, що виникають при розкладанні суми ${\displaystyle S_{mk}^{}=\sigma _{mk}+p_{mk}}$. Така таблиця може бути синтезована при ${\displaystyle R>2.}$

Ниже приведена таблица одноразрядного ділення на параметр R при ${\displaystyle R=3}$:

Smk	TK(Smk)		${\displaystyle \sigma _{mk}^{}}$	${\displaystyle p_{mk}^{}}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	1	.	.
1	0	0	1	0
.	.	(-1)	.	.
(-1)	0	0	(-1)	0
.	.	0	.	.
1/3	1	(-1/3)	0	1
.	.	1	.	.
2/3	(-1)	1/3	1	(-1)
.	.	1	.	.
4/3	1	(-1/3)	1	1
.	.	2	.	.
5/3	(-1)	1/3	2	(-1)
.	.	0	.	.
(-1/3)	(-1)	1/3	0	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-2/3)	1	(-1/3)	(-1)	1
.	.	(-1)	.	.
(-4/3)	(-1)	1/3	(-1)	(-1)
.	.	(-2)	.	.
(-5/3)	1	(-1/3)	(-2)	1

Складання і віднімання

R-х трикутних кодів полягає(як і в позиційних кодах чисел) в послідовно виконуваних однорозрядних операціях. При цьому однорозрядні операції в усіх розрядах кожного стовпця виконуються одночасно.

Множення

R-х трикутних кодів. Множення деякого коду ${\displaystyle TK_{R}'^{}}$ на ${\displaystyle (mk)}$-розряд іншого коду ${\displaystyle TK_{R}''^{}}$ полягає в ${\displaystyle (mk)}$-зміщенні коду ${\displaystyle TK_{R}'^{}}$, тобто зрушенні його на k стовпців вліво і на m рядків вгору. Множення кодів ${\displaystyle TK_{R}'^{}}$ і ${\displaystyle TK_{R}''^{}}$ полягає в послідовних ${\displaystyle (mk)}$-зміщеннях коду ${\displaystyle TK_{R}'^{}}$ і складаннях зрушеного коду ${\displaystyle TK_{R}'^{}}$ з частковим твором(як і в позиційних кодах чисел).

Диференціювання

R-х трикутних кодів. Похідна функції ${\displaystyle F(x)}$, визначеною вище

${\displaystyle {\frac {\partial F(x)}{\partial x}}={\frac {\partial y}{\partial x}}{\frac {\partial F(x)}{\partial y}}}$.

Тому диференціювання трикутних кодів функції ${\displaystyle F(x)}$ полягає у визначенні трикутного коду приватною похідною ${\displaystyle {\frac {\partial F(x)}{\partial y}}}$ і множенні його на відомий трикутний код похідної ${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x}}}$. Визначення трикутного коду приватною похідною ${\displaystyle {\frac {\partial F(x)}{\partial y}}}$ ґрунтовано на співвідношенні

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{\begin{pmatrix}\ &\ &0\\\ &0&\alpha _{mk}\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ &\ &(k-m)\alpha _{mk}\\\ &0&(k-2m)\alpha _{mk}\\0&0&(-m)\alpha _{mk}\end{pmatrix}}}$.

Спосіб диференціювання полягає в організації перенесень з mk- розряду в(m 1, k) -розряд і в(m — 1, k) -розряд, а їх підсумовування в цьому розряді робиться аналогічно однорозрядному складанню.

Кодування і декодування

R-х трикутних кодів. Функція, представлена рядом виду

${\displaystyle F(x)=\sum _{k=0}^{n}A_{k}y^{k}}$,

з цілими коефіцієнтами ${\displaystyle A_{k}}$, може бути представлена R-м трикутним кодом, оскільки ці коефіцієнти і функції ${\displaystyle y^{k}}$ мають R-ті трикутні коди(про що сказано на початку розділу). З іншого боку, R-й трикутний код може бути представлений вказаним рядом, оскільки будь-який доданок ${\displaystyle \alpha _{mk}R^{k}y^{k}(1-y)^{m}}$ у позиційному розкладанні функції(що відповідає цьому коду) може бути представлено таким же рядом.

Укорочення

R-х трикутних кодів. Так називається операція зменшення числа не нульових стовпців. Необхідність укорочення виникає при виникненні перенесень за розрядну сітку. Укорочення полягає в діленні на параметр R. При цьому усі коефіцієнти уявного кодом ряду зменшуються в R разів, а дробові частини цих коефіцієнтів відкидаються. Зникає також старший член ряду. Таке скорочення допустиме, якщо відомо, що ряди функцій сходяться. Укорочення полягає в послідовно виконуваних однорозрядних операціях ділення на параметр R. При цьому однорозрядні операції в усіх розрядах кожного рядка виконуються одночасно, а перенесення з молодшого рядка відкидаються.

Масштабний коефіцієнт

R-й трикутний код супроводжується масштабним коефіцієнтом M, аналогічним порядку в числі з рухомою комою. Коефіцієнт M дозволяє представити усі коефіцієнти кодованого ряду у вигляді цілих чисел. Коефіцієнт M множиться на R при укороченні коду. При складанні коефіцієнти M вирівнюються, для чого необхідно укорочувати один із складових кодів. При множенні коефіцієнти M також множаться.

Позиційні коди функцій багатьох аргументів

Мал. 2 Пірамідальний код функції двох аргументів

Позиційний код функції двох аргументів зображений на мал. 1. Йому відповідає потрійна сума виду

${\displaystyle F(x,v)=\sum _{k=0}^{n}\sum _{m1=0}^{k}\sum _{m2=0}^{k}\alpha _{m1,m2,k}R^{k}y^{k-m1}(1-y)^{m1}z^{k-m2}(1-z)^{m2}}$,

де ${\displaystyle R}$ — ціле позитивне число, кількість значень цифри ${\displaystyle \alpha _{m1,m2,k}}$, а ${\displaystyle y(x),~z(v)}$ — певні функції аргументів ${\displaystyle x,~v}$ відповідно. На мал. 1 вузли відповідають цифрам ${\displaystyle \alpha _{m1,m2,k}}$, а в кухлях показані значення індексів ${\displaystyle {m1,m2,k}}$ відповідної цифри. Позиційний код функції двох аргументів називається пірамідальним. Позиційний код називається R-м(і позначається як ${\displaystyle PK_{R}}$), якщо числа ${\displaystyle \alpha _{m1,m2,k}}$ набувають значень з множини ${\displaystyle D_{R}}$. При складанні кодів ${\displaystyle PK_{R}}$ перенесення поширюється в чотири розряди і тому ${\displaystyle R\geq 7}$.

Позиційному коду функції декількох аргументів відповідає сума виду

${\displaystyle F(x1\ldots ,x_{i}\ldots ,x_{a})=\sum _{k=0}^{n}\sum _{m1=0}^{k}\ldots \sum _{m_{a}=0}^{k}(\alpha _{m1\ldots ,m_{a},k}R^{k}\prod _{i=1}^{a}(y_{i}^{k-m_{i}}(1-y_{i})^{m_{i}}))}$,

Мал. 1 Гіперпірамідальний код функції трьох аргументів

де ${\displaystyle R}$ — ціле позитивне число, кількість значень цифри ${\displaystyle \alpha _{m1\ldots ,m_{a},k}}$, а ${\displaystyle y_{i}(x_{i})}$ — певні функції аргументів ${\displaystyle x_{i}}$. Позиційний код функції декількох аргументів називається гіперпірамідальним. На мал. 2 показаний для прикладу позиційний гіперпірамідальний код функції трьох аргументів. У нім вузли відповідають цифрам ${\displaystyle \alpha _{m1,m2,m3,k}}$, а в кухлях показані значення індексів ${\displaystyle {m1,m2,m3,k}}$ відповідної цифри. Позиційний гіперпірамідальний код називається R-м(і позначається як ${\displaystyle GPK_{R}}$), якщо числа ${\displaystyle \alpha _{m1\ldots ,m_{a},k}}$ набувають значень з множини ${\displaystyle D_{R}}$. При складанні кодів ${\displaystyle GPK_{R}}$ перенесення поширюється в a-мерный куб, що містить ${\displaystyle 2^{a}}$ розрядів і тому ${\displaystyle R\geq (2^{a-1}-1)}$.

Примітки

1. Малиновский Б. Н. История вычислительной техники в лицах. — Киев, Фирма "КИТ", ПТОО "АСК". — 1995. — .
2. Хмельник С. И. Кодирование функций. — 1966. — Т. 4.
3. Хмельник С. И. Компьютерная арифметика функций. Алгоритмы и аппаратура. — Mathematics in Computers. — Россия-Израиль, 2004. — . з джерела 11 травня 2008
4. Хмільник С. И. Декілька типів позиційних кодів функцій // Кібернетика, АН УРСР. — 1970. — Т. 5.