Квазігеодезична лінія

Квазігеодезична лінія — це крива в метричному просторі, для якої правий та лівий не від'ємні. Квазігеодезична лінія узагальнює поняття геодезичної лінії. Будь-яка геодезична лінія буде квазігеодезичною, тому, що у неї правий та лівий повороти дорівнюють нулю.

Прикладом квазігеодезичної, але не геодезичної лінії буде коло в основі конуса.

У сенсі внутрішньої метрики всяка квазігеодезична лінія без кратних точок є межею геодезичних.

Властивості квазігеодезичної лінії

Відомо, що на всякій регулярній замкненій опуклій поверхні існують принаймні три замкнені геодезичні без кратних точок. Ця відома теорема була висловлена ​​ще в 1905 році Анрі Пуанкаре, але повний її доказ було дано тільки майже 25 років по тому Люстерніком і Шнірельманом. Однак на нерегулярній замкненій опуклій поверхні замкнених геодезичних без кратних точок може не бути зовсім.

На замкненій опуклій поверхні існують принаймні три геометрично різні замкнені квазігеодезичні лінії.

Екстремальна властивість квазігеодезичної лінії на опуклій поверхні

Деформація квазігеодезичної лінії вздовж прямих, що виходять з тіла К

Нехай замкнена опукла поверхня F обмежує тіло К, ${\displaystyle \gamma _{AB}}$ квазігеодезична на ній без самоперетинів. Якщо квазігеодезична ${\displaystyle \gamma _{AB}}$ деформується в криву ${\displaystyle \gamma \,'_{AB}}$ так, що кінці А і В залишаються нерухомими, а всяка внутрішня точка кривої переміщується назовні вздовж прямої, яка виходить з тіла К, то отримана в результаті деформації крива ${\displaystyle \gamma \,'_{AB}}$ буде мати довжину не меншу ніж у кривої ${\displaystyle \gamma _{AB}}$ .

Посилання

• Wilton: Quasi-geodesics [ 3 Квітня 2015 у Wayback Machine.]

Примітки

1. Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. Ленинград: ОГИЗ, 1948. — 386 с.
2. Погорелов. А. В. Квазигеодезические линии на выпуклой поверхности. Математический сборник. Т. 25 (67) : 2. М.: Изд. АН СССР, 1949. с. 275–306. [1]