Категорія Люстерніка–Шнірельмана

Категорія Люстерника — Шнірельмана — характеристика топологічного простору ${\displaystyle X}$ — мінімальне число ${\displaystyle \operatorname {cat} X}$ таких замкнутих множин, якими можна покрити ${\displaystyle X}$ і кожне з яких може бути стягнуто в точку за допомогою неперервної деформації в ${\displaystyle X}$. Категорія має важливе значення для варіаційного числення, так як вона оцінює знизу число стаціонарних (критичних) точок гладкої функції на замкнутому многовиді.

Властивості

• Категорія Люстерника — Шнірельмана є гомотопічним інваріантом.
• ${\displaystyle \operatorname {cat} \,\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}=n+1}$, де ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$ позначає ${\displaystyle n}$-вимірний дійсний проективний простір.
• ${\displaystyle \operatorname {cat} X>\operatorname {long} X,}$ де когомологічна довжина ${\displaystyle \operatorname {long} X}$ визначається як найбільше число класів когомологій позитивної розмірності, добуток яких відмінний від нуля.

Посилання

• Ralph H. Fox, On the Lusternik-Schnirelmann category [Архівовано 21 вересня 2018 у Wayback Machine.], Annals of Mathematics 42 (1941), 333—370.