Золота спіраль — логарифмічна спіраль, швидкість зростання якої дорівнює φ — золотій пропорції
Золота спіраль | |
Підтримується Вікіпроєктом | |
---|---|
Золота спіраль у Вікісховищі |
Формула
Рівняння для золотої спіралі в полярній системі координат таке ж саме, що і для інших логарифмічних спіралей, але зі спеціальним значенням коефіцієнта зростання b:
- ,
або:
- ,
де e — основа натуральних логарифмів, a — довільна позитивна дійсна константа, а b знаходиться з рівняння:
- ,
в якому — золотий перетин. Рішенням цього рівняння є:
- .
Оскільки спіраль може йти як за годинниковою стрілкою, так і проти неї, b може бути і негативним:
- .
Альтернативною формулою для золотої спіралі є:
- ,
де константа c задається формулою:
- .
Наближення золотої спіралі
Існує кілька схожих спіралей, які наближені, але не збігаються в точності з золотою спіраллю, з якою їх часто плутають.
Наприклад, золоту спіраль можна апроксимувати, почавши з прямокутника, у якого відношення між довжиною і шириною дорівнює золотій пропорції (такий прямокутник називають золотим). Цей прямокутник можна розділити на квадрат і подібний йому прямокутник, його, своєю чергою, розділити тим же чином, і продовжувати цей процес довільну кількість разів. Тоді ми отримаємо майже повне розкладання прямокутника на квадрати. Кути цих квадратів можна з'єднати четвертинками кіл, і тоді ми отримаємо криву, яка хоч і не є справжньою логарифмічною спіраллю, але близько її апроксимує.
Ще однією апроксимацією є спіраль Фібоначчі, яка будується подібно до вищеописаної спіралі, за винятком того, що починають з прямокутника з двох квадратів і додають потім до більшої сторони прямокутника квадрат такої ж довжини. Оскільки відношення між сусідніми числами Фібоначчі наближається до золотої пропорції, спіраль все більше наближається до золотої спіралі в міру додавання квадратів (див. другий малюнок).
Спіралі у природі
Наближення до логарифмічних спіралей трапляється в природі (наприклад, рукави спіральних галактик чи раковини молюсків). Золоті спіралі є окремим випадком логарифмічних спіралей. Недавній глибокий аналіз спіралей, що зустрічаються в роговичному епітелії мишей, показав, що трапляються як золоті, так й інші логарифмічні спіралі. Іноді трапляються твердження, що спіральні галактики й раковини наутилідів частіше трапляються у формі золотої спіралі тому, що золота спіраль пов'язана із золотим перетином і послідовністю Фібоначчі, однак насправді спіральні галактики й раковини молюсків часто мають вигляд логарифмічних спіралей, які істотно відрізняються від золотої.
Див. також
- Золотий кут
- Золотий прямокутник
Інтернет-ресурси
Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Goldener Schnitt |
Німецькою
- Marcus Frings: Goldener Schnitt. In: Labor (2015).
Англійською
- Marcus Frings: The Golden Section in Architectural Theory. In: Nexus Network Journal, 2002, 4/1.
- Weisstein, Eric W. Golden Ratio(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. The Golden Ratio в архіві MacTutor (англ.)
- Alexander Bogomolny: Golden Ratio. cut-the-knot.org
- : Proportion Control. New York Times (Online), 24. September 2012.
- послідовність A001622 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS (Dezimalentwicklung von ), послідовність A028259 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS ( von ), послідовність A118242 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS ( von ).
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Zolota spiral logarifmichna spiral shvidkist zrostannya yakoyi dorivnyuye f zolotij proporciyiNablizhena i spravzhnya spirali za chislami Fibonachchi zelena spiral skladena z chetvertinok kil vseredini kvadrativ v toj chas yak chervona spiral ye zolotoyu spirallyu osoblivim tipom logarifmichnoyi spirali Miscya de spirali nakladayutsya odna na odnu pokazano zhovtim kolorom Dovzhina chastini spirali vseredini bilshogo kvadrata vidnositsya do dovzhini spirali vseredini nastupnogo kvadrata zgidno pravila zolotogo peretinu Zolota spiral Yaksho dovzhina storoni kvadrata dorivnyuye 1 to nastupnij menshij kvadrat maye storoni dovzhinoyu 1 f Nastupni 1 f 1 f i tak dali Zoloti spirali ye samopodibnimi Yihnya forma idealno povtoryuyetsya pri zbilshenni Zolota spiral Pidtrimuyetsya VikiproyektomVikipediya Proyekt Matematika Zolota spiral u VikishovishiFormulaRivnyannya dlya zolotoyi spirali v polyarnij sistemi koordinat take zh same sho i dlya inshih logarifmichnih spiralej ale zi specialnim znachennyam koeficiyenta zrostannya b r a e b 8 displaystyle r ae b theta abo 8 1 b ln r a displaystyle theta frac 1 b ln r a de e osnova naturalnih logarifmiv a dovilna pozitivna dijsna konstanta a b znahoditsya z rivnyannya e p b 2 f displaystyle e frac pi b 2 varphi v yakomu f 5 1 2 displaystyle varphi frac sqrt 5 1 2 zolotij peretin Rishennyam cogo rivnyannya ye b 2 ln f p 0 306 349 displaystyle b frac 2 ln varphi pi approx 0 306349 Oskilki spiral mozhe jti yak za godinnikovoyu strilkoyu tak i proti neyi b mozhe buti i negativnim Spiral Fibonachchi aproksimuye zolotu spiral z vikoristannyam chetvertinok kola v kvadratah z rozmirami kvadrativ sho dorivnyuyut chislam Fibonachchi Na malyunku pokazani kvadrati z rozmirami 1 1 2 3 5 8 13 21 34 b 2 ln f p 0 306 349 displaystyle b pm frac 2 ln varphi pi approx pm 0 306349 Alternativnoyu formuloyu dlya zolotoyi spirali ye r a c 8 displaystyle r ac theta de konstanta c zadayetsya formuloyu c e b f 2 p 1 358 456 displaystyle c e b varphi frac 2 pi approx 1 358456 Nablizhennya zolotoyi spiraliLitovska moneta Isnuye kilka shozhih spiralej yaki nablizheni ale ne zbigayutsya v tochnosti z zolotoyu spirallyu z yakoyu yih chasto plutayut Napriklad zolotu spiral mozhna aproksimuvati pochavshi z pryamokutnika u yakogo vidnoshennya mizh dovzhinoyu i shirinoyu dorivnyuye zolotij proporciyi takij pryamokutnik nazivayut zolotim Cej pryamokutnik mozhna rozdiliti na kvadrat i podibnij jomu pryamokutnik jogo svoyeyu chergoyu rozdiliti tim zhe chinom i prodovzhuvati cej proces dovilnu kilkist raziv Todi mi otrimayemo majzhe povne rozkladannya pryamokutnika na kvadrati Kuti cih kvadrativ mozhna z yednati chetvertinkami kil i todi mi otrimayemo krivu yaka hoch i ne ye spravzhnoyu logarifmichnoyu spirallyu ale blizko yiyi aproksimuye She odniyeyu aproksimaciyeyu ye spiral Fibonachchi yaka buduyetsya podibno do visheopisanoyi spirali za vinyatkom togo sho pochinayut z pryamokutnika z dvoh kvadrativ i dodayut potim do bilshoyi storoni pryamokutnika kvadrat takoyi zh dovzhini Oskilki vidnoshennya mizh susidnimi chislami Fibonachchi nablizhayetsya do zolotoyi proporciyi spiral vse bilshe nablizhayetsya do zolotoyi spirali v miru dodavannya kvadrativ div drugij malyunok Spirali u prirodiNablizhennya do logarifmichnih spiralej traplyayetsya v prirodi napriklad rukavi spiralnih galaktik chi rakovini molyuskiv Zoloti spirali ye okremim vipadkom logarifmichnih spiralej Nedavnij glibokij analiz spiralej sho zustrichayutsya v rogovichnomu epiteliyi mishej pokazav sho traplyayutsya yak zoloti tak j inshi logarifmichni spirali Inodi traplyayutsya tverdzhennya sho spiralni galaktiki j rakovini nautilidiv chastishe traplyayutsya u formi zolotoyi spirali tomu sho zolota spiral pov yazana iz zolotim peretinom i poslidovnistyu Fibonachchi odnak naspravdi spiralni galaktiki j rakovini molyuskiv chasto mayut viglyad logarifmichnih spiralej yaki istotno vidriznyayutsya vid zolotoyi Div takozhZolotij kut Zolotij pryamokutnikInternet resursiVikishovishe maye multimedijni dani za temoyu Goldener Schnitt Nimeckoyu Marcus Frings Goldener Schnitt In Labor 2015 Anglijskoyu Marcus Frings The Golden Section in Architectural Theory In Nexus Network Journal 2002 4 1 Weisstein Eric W Golden Ratio angl na sajti Wolfram MathWorld Dzhon Dzh O Konnor ta Edmund F Robertson The Golden Ratio v arhivi MacTutor angl Alexander Bogomolny Golden Ratio cut the knot org Proportion Control New York Times Online 24 September 2012 poslidovnist A001622 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Dezimalentwicklung von F displaystyle Phi poslidovnist A028259 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS von F displaystyle Phi poslidovnist A118242 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS von 1 F displaystyle 1 Phi