Згортка Діріхле

В математиці, згортка Діріхле — бінарна операція визначена для арифметичних функцій, що широко використовується в теорії чисел. Названа на честь німецького математика Діріхле.

Визначення

Якщо ƒ і g — арифметичні функції, можна визначити нову арифметичну функцію ƒ * g, згортку Діріхле функційƒ і g,

${\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{d\,\mid \,n}f(d)g(n/d)\,}$

де сума береться по всіх дільниках d числа n.

Приклади

Приклад 1

Визначимо функцію ${\displaystyle E_{0}}$ наступним чином:

${\displaystyle E_{0}(n)=\left\{{\begin{matrix}1,&n=1,\\0,&n>1.\end{matrix}}\right.}$

Визначимо тепер згортку Діріхле функції ${\displaystyle E_{0}}$ і деякої арифметичної функції ${\displaystyle f:}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(E_{0}*f)(n)&=\sum _{d|n,d>0}{E_{0}(d)f(n/d)}\,\\&=E_{0}(1)f(n)+\sum _{d|n,d>1}{E_{0}(d)f(n/d)}\,\\&=1\cdot f(n)+\sum _{d|n,d>1}{0\cdot f(n/d)}\,\\&=f(n)+0=f(n).\\\end{aligned}}}$

Приклад 2

Нехай функції ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ визначені наступним чином:

${\displaystyle f(n)=n\,\!}$

${\displaystyle g(n)=n^{2}.\,\!}$

Знайдемо значення згортки Діріхле для аргументу ${\displaystyle n=10}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)(10)&=\sum _{d|10,d>0}{f(d)g(10/d)}\,\\&=f(1)\cdot g(10)+f(2)\cdot g(5)+f(5)\cdot g(2)+f(10)\cdot g(1)\\&=1\cdot 10^{2}+2\cdot 5^{2}+5\cdot 2^{2}+10\cdot 1^{2}\\&=100+50+20+10=180.\\\end{aligned}}}$

Властивості

Множина арифметичних функцій утворює комутативне кільце, щодо операцій поточкового додавання і згортки Діріхле, де мультиплікативною одиницею є функція δ, що визначається δ(n) = 1 якщо n = 1 і δ(n) = 0, якщо n > 1.

Оборотними елементами цього кільця є арифметичні функції f для яких f(1) ≠ 0. Згортка Діріхле задовольняє такі властивості:

• Асоціативність: ${\displaystyle f*(g*h)=(f*g)*h\,\!}$
• Комутативність: ${\displaystyle f*g=g*f\,\!}$
• Дистрибутивність: ${\displaystyle f*(g+h)=f*g+f*h\,\!}$

Згортка Діріхле двох мультиплікативних функцій є мультиплікативною функцією. Кожна мультиплікативна функція має обернену Діріхле, що теж є мультиплікативною функцією.

Обертання Діріхле

Для арифметичної функції ƒ, рекурсивна формула для обчислення оберненої Діріхле має вигляд:

${\displaystyle f^{-1}(1)={\frac {1}{f(1)}}}$

для n > 1,

${\displaystyle f^{-1}(n)={\frac {-1}{f(1)}}\sum _{d\,\mid \,n,\ d<n}f\left({\frac {n}{d}}\right)f^{-1}(d).}$

Коли ƒ(n) = 1 для всіх n, тоді оберненою функцією є ƒ ⁻¹(n) = μ(n) — функція Мебіуса.

Ряди Діріхле

Якщо f — арифметична функція, відповідні їй ряди Діріхле визначаються формулою

${\displaystyle DG(f;s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

для тих комплексних аргументів s для яких ряд збігається.При цьому виконується рівність:

${\displaystyle DG(f;s)DG(g;s)=DG(f*g;s)\,}$

для всіх s для яких обидва ряди зліва є збіжними, причому принаймні один абсолютно.

Література

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag,
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. .