Збережний струм

Збережни́й струм — поняття, що використовується в математичному апараті фізики, для опису процесів перенесення фізичної величини, що зберігається, наприклад електричного заряду. У математичних векторних позначеннях він позначається як величина ${\displaystyle j^{\mu }}$, яка задовольняє рівнянню неперервності ${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0}$. Рівняння неперервності являє собою закон збереження, звідси й походить назва.

Справді, інтегрування рівняння неперервності за об'ємом ${\displaystyle V}$, з поверхнею, через яку не течуть струми, приводить до закону збереження

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}Q=0}$$

, де ${\textstyle Q=\int _{V}j^{0}dV}$ — величина, що зберігається.

У калібрувальних теоріях калібрувальні поля розглядаються спільно зі збережними струмами. Наприклад, електромагнітне поле розглядається спільно з електричним збережним струмом.

Збережні величини та симетрії

Збережний струм — це потік канонічно спряженої величини, що має неперервну трансляційну симетрію. Рівняння неперервності для збережного струму є математичним формулюванням закону збереження. Прикладами канонічно спряжених величин є:

• час та енергія — неперервна трансляційна симетрія (однорідність) часу передбачає збереження енергії;
• простір та імпульс — неперервна трансляційна симетрія (однорідність) простору передбачає збереження імпульсу;
• простір і кутовий момент — неперервна "обертальна" симетрія (однорідність відносно обертань) простору передбачає збереження кутового моменту.

Збережні струми відіграють надзвичайно важливу роль у теоретичній фізиці, тому що теорема Нетер пов'язує існування збережного струму з існуванням симетрії деякої величини в досліджуваній системі. З практичної точки зору, всі збережні струми є нетерівськими струмами, оскільки існування збережного струму передбачає існування симетрії. Збережні струми відіграють важливу роль у теорії диференціальних рівнянь у частинних похідних, оскільки існування збережного струму вказує на існування інтегралів руху, які необхідні для інтегровності системи. Закон збереження виражається як обернення в нуль 4-дивергенції, де нетерівський заряд утворює нульову складову 4-струму.

Збережні струми в електромагнетизмі

Збереження заряду, наприклад, у позначеннях рівнянь Максвелла,

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0}$$

де

• ${\displaystyle \rho }$ — густина електричного заряду,
• j — густина струму
  $${\displaystyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} }$$

де v — швидкість зарядів.

Див. також

• Закони збереження
• Теорема Нетер

Примітки

1. Дж. Бернстейн Элементарные частицы и их токи. — М., Мир, 1970. — c. 25-26
2. , Попов В.Н. Калибровочные поля. — М., Наука, 1980. — с. 52