Закон зсуву Віна

Закон зміщення Віна дає залежність довжини хвилі, на якій потік випромінювання енергії чорного тіла сягає свого максимуму, від температури чорного тіла.

Криві потоку випромінювання абсолютно чорних тіл з різною температурою. Наочно можна бачити, що при зростанні температури максимум випромінювання зсувається в ультрафіолетовий бік спетру (в область коротких довжин хвиль). Саме цю особливість й описує закон зміщення Віна.

Загальний вигляд закону зміщення Віна

У системі СІ закон має вигляд:

${\displaystyle \lambda _{\max }={\frac {0{,}002898}{T}}}$

де T — температура в кельвінах, а ${\displaystyle \lambda _{\max }}$ — довжина хвилі з максимальною інтенсивністю у метрах. Коефіцієнт у даній формулі має при цьому розмірність [ м К].

Доведення закону

Для доведення можна використати вираз закону випромінювання Планка для абсолютно чорного тіла, записаного для довжин хвиль:

${\displaystyle B(\lambda ,T)={2hc^{2} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}.}$

Щоб знайти екстремуми цієї функції в залежності від довжини хвилі, її слід продиференціювати по ${\displaystyle \lambda }$ й прирівняти диференціал до нуля:

${\displaystyle {\partial B \over \partial \lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{6}}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}\left({hc \over kT\lambda }{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)}-5\right)=0}$

З цієї формули відразу можна визначити, що похідна наближається до нуля коли ${\displaystyle \lambda \rightarrow \infty }$ чи коли ${\displaystyle e^{hc/\lambda kT}\rightarrow \infty }$, що справджується при ${\displaystyle \lambda \rightarrow 0}$. Проте, обидва ці випадки дають мінімум ${\displaystyle B(\lambda )}$, яка для зазначених довжин хвиль сягає свого нуля (див. малюнок угорі). Тому аналіз слід продовжити лише з третім можливим випадком коли

${\displaystyle {hc \over kT\lambda }{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)}-5=0}$

Використовуючи заміну змінних ${\displaystyle x={hc \over kT\lambda }}$, дане рівняння можна перетворити на

${\displaystyle {xe^{x} \over e^{x}-1}-5=0.}$

Чисельний розв'язок цього рівняння дає :

${\displaystyle x=4.965114231744276\ldots }$

Таким чином, враховуючи заміну змінних та значення сталих Планка, Больцмана та швидкості світла, довжина хвилі, на якій інтенсивність випромінювання абсолютно чорного тіла сягає свого максимуму, визначається як

${\displaystyle \lambda _{\max }={hc \over x}{1 \over kT}={2.89776829\ldots \times 10^{-3} \over T}}$,

де температура задана в кельвінах, а ${\displaystyle \lambda _{\max }}$ — у метрах.

Приклади

Згідно із законом зміщення Віна людське тіло з температурою 290 K (+17°C) має максимум теплового випромінювання на довжині хвилі 10 μм, що відповідає інфрачервоному діапазону випромінювання.

Реліктове випромінювання космосу має ефективну температуру 2,7 K й сягає свого максимуму на довжині хвилі 1 мм. Відповідно ця довжина хвилі належить вже до радіодіапазону.

Див. також

• Абсолютно чорне тіло
• Закон випромінювання Планка
• Закон Стефана-Больцмана

Посилання

• Світ фізики Еріка Вейстейна [ 4 червня 2016 у Wayback Machine.]

Джерела та примітки

1. Рівняння ${\displaystyle {xe^{x} \over e^{x}-1}=n}$ не можливо розв'язати застосовуючи елементарні функції. Його точний розв'язок можна знайти лише за допомогою W-функції Ламберта, проте в даному випадку можна скористатися й наближеним розв'язком.

• B. H. Soffer and D. K. Lynch, "Some paradoxes, errors, and resolutions concerning the spectral optimization of human vision," Am. J. Phys. 67 (11), 946-953 1999.
• M. A. Heald, "Where is the 'Wien peak'?", Am. J. Phys. 71 (12), 1322-1323 2003.