Ефект Саньяка

Ефект Саньяка (інтерференція Саньяка), названий на честь французького фізика Жоржа Саньяка, — явище інтерференції, яке виникає внаслідок обертання. Як правило, це явище проявляє себе в кільцевій інтерферометрії. Світловий промінь розбивається на два, що прямують в протилежних напрямах по замкненому кільцю. Очевидно, що кільце має певну площу і тому розміри інтерференційної картини (ширина смуги) залежать від цієї площі. Положення інтерференційних смуг залежить від частоти обертання установки. Подібне обладнання також називається інтерферометром Саньяка.

Ефект Саньяка — електромагнітний двійник механічного обертання. Вектор кутової швидкості

${\displaystyle \mathbf {\omega } ={\frac {1}{2}}[\mathbf {\nabla } \times \mathbf {v} ]}$

аналогічний до аксіального вектора індукції магнітного поля, а вектор швидкості

${\displaystyle \mathbf {v} =[\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} ]}$

аналогічний до векторного потенціалу.

Підвіс карданів гіроскопу залишається в одному і тому ж стані (напрямі) після закрутки, і тому може бути використаний як референтна система відліку. Інтерферометр Саньяка може вимірювати свою власну кутову частоту по відношенню до локальної системи відліку.

Схематичне зображення інтерферометра Саньяка

Опис явища

Як правило, використовують декілька дзеркал, так що промінь світла описує трикутну або чотирикутну траєкторію. Для кругової схеми може бути використане фіберволокно, яке досить пластичне і може бути зігнуте в коло. Кільцевий інтерферометр розміщується на платформі, що може обертатися навколо своєї осі. Коли платформа обертається, то інтерференційні смуги зміщуються відносно нерухомого стану. Величина зсуву пропорційна до кутової швидкості платформи. Вісь обертання не обов'язково повинна знаходитися всередині замкнутої площі кільця.

Коли платформа обертається, то точка входу/виходу також рухається з транзитним часом, прив'язаним до руху світла. Тому один промінь пройде меншу відстань, ніж другий. Це і приводить до зсуву інтерференційних смуг. Таким чином, інтерференційна картина буде залежати від кутової швидкості обертання платформи з різними значеннями відносного фазового зсуву.

Історія

Уперше теоретично даний ефект передбачив Олівер Лодж у 1897 році, а потім Альберт Майкельсон у 1904. Вони сподівались, що в свій час хтось зможе здійснити грандіозний експеримент із вимірювання кутової швидкості обертання Землі навколо своєї осі за допомогою оптичних засобів інтерферометрії. Більше того, вони припускали, що у випадку коли «світлоносний ефір» захоплюється Землею (або інтерферометром), то результат буде «негативним», проте у випадку «стаціонарного ефіру» — результат буде «позитивним». Макс фон Лауе в 1911 р. продовжив теоретичну роботу Майкельсона, і використав спеціальну теорію відносності у своїх розрахунках. Він передбачив (з точністю до першого порядку відносно v/c) однакове значення відносного зсуву фази для випадку «стаціонарного ефіру» та релятивістського підходу, оскільки в обох випадках швидкість світла є незалежна від швидкості джерела світла, і тому розповсюдження протилежно направлених променів описується однаково з точки зору інерційної системи відліку. Тому тільки модель тотального захвату ефіру дасть «негативний» результат.

На практиці вперше реалізував дану інтерференційну схему французький фізик Жорж Саньяк у 1913 році і тому це явище назване на його честь. Його мета полягала у детектуванні «ефекту відносного руху ефіру» Саньяк тільки згадав сумісність результатів зі «стаціонарним ефіром». Проте, як уже згадувалося вище Макс фон Лауе вже передбачив цей ефект за допомогою релятивістського підходу і тому цей ефект також сумісний з релятивістським підходом.

У 1925 році амбітний експеримент із кільцевої інтерферометрії був здійснений Альбертом Майкельсоном та Генрі Гейлом. Основна мета даного експерименту було вияснення чи обертання Землі впливає на розповсюдження світла біля Землі. Експеримент Майкельсона - Гейла являв собою «гігантський кільцевий інтерферометр» з периметром близько 1,9 км. Площини кільця було достатньо для вимірювання кутової швидкості Землі. В результаті цього експерименту було підтверджено, що кутова швидкість обертання Землі, виміряна в рамках астрономії, збігається з інтерферометричною швидкістю. Калібровка основного кільцевого інтерферометра здійснювалася за допомогою додаткового інтерферометра, розміри якого в широтному напрямі були значно меншими по відношенню до основного інтерферометра. Оскільки оптичні осі обох інтерферометрів збігалися, тому можна було досить легко за допомогою додаткової процедури настроювати основний інтерферометр на спільну оптичну вісь, відносно якої і вимірювався зсув смуги. Середнє значення відносного зсуву фази було 0,230, в той час, коли теоретична модель передбачувала близьке значення 0,237

Теоретичні пояснення

Майже 100 років пройшло після відкриття ефекту Саньяка, проте до сих пір відсутнє чітке розуміння даного явища. Оскільки воно лежить в основі інтерференційних явищ, які в свою чергу можуть викликатися не тільки хвилями, а і елементарними частками, тому на сьогодні існують десятки моделей, які «коректно», або «не зовсім» в термінології Маликіна описують його фізичну природу. В історичному плані одне з перших пояснень належить самому Саньяку, яке базується на концепції стаціонарного ефіру.

Модель «стаціонарного ефіру»

Зсув інтерференційних смуг можна розглядати як простий результат різниці шляхів розповсюдження двох променів світла, обумовлений обертанням платформи. Найпростіше виведення базується на круглому кільці, що обертається з кутовою швидкістю ${\displaystyle \omega }$, проте отриманий результат може бути розповсюджений і на інші форми шляху. Якщо джерело світла випромінює в двох протилежних напрямах кільця, що обертається, тоді світло в напрямі обертання пройде більший шлях по відношенню до світла, в протилежному напрямі і досягне джерела в момент часу ${\displaystyle t_{1}}$:

Світло розповсюджується в протилежних напрямах і проходить різні шляхи, повертаючись знову до джерела.

${\displaystyle t_{1}={\frac {2\pi R+\Delta L}{c}}}$

де ${\displaystyle \Delta L}$ — різниця шляхів двох променів (чорна жирна стрілка на фігурі) :

${\displaystyle \Delta L=R\omega t_{1}.\,}$

Виключаючи ${\displaystyle \Delta L}$ з обох рівнянь можна отримати:

${\displaystyle t_{1}={\frac {2\pi R}{c-R\omega }}.}$

Подібним чином можна отримати час проходження другого променя, який прямує назустріч обертанню платформи:

${\displaystyle t_{2}={\frac {2\pi R}{c+R\omega }}.}$

Тоді різниця часу буде:

${\displaystyle \Delta t=t_{1}-t_{2}={\frac {4\pi R^{2}\omega }{c^{2}-R^{2}\omega ^{2}}}.}$

Оскільки ${\displaystyle R\omega =v\ll c}$ тому можна спростити даний вираз до

${\displaystyle \Delta t\approx {\frac {4\pi R^{2}\omega }{c^{2}}}={\frac {4A\omega }{c^{2}}},}$

де A — площа кільця, в якому розповсюджується світло. Цей результат може бути розповсюджений для любої форми замкненого шляху сумарна площа якого;A.

Можна використовувати уявний екран для спостереження інтерференційної картини, а можна використовувати роздільник світла для направлення результату на матеріальний екран. Якщо світло має форму імпульсів, коротших за ${\displaystyle \Delta t}$, тоді інтерференційної картини не буде. Проте в експериментах використовують стаціонарні джерела світла (в тому числі і неперервні лазери) і тому спостерігається стабільна інтерференційна картина. Фазовий зсув має вигляд ${\displaystyle \Delta \phi ={\frac {2\pi c\Delta t}{\lambda }}}$, що викликає зсув інтерференційної смуги пропорційно до площі ${\displaystyle A}$ та кутової швидкості (вортісіті/vorticity) ${\displaystyle \omega }$.

У випадку розповсюдження світла у вакуумі дорелятивістські та релятивістські моделі дають один і той же результат. Іншими словами, у випадку вакуумного ефекту Саньяка експеримент не розрізняє між дорелятивістською та релятивістською фізиками.

Модель «часткового захвату ефіру»

У випадку матеріального середовища (матеріального медіа) з певним коефіцієнтом заломлення ефект Саньяка може бути розглянутий із врахуванням коефіцієнту захвату Френеля. В цьому випадку швидкості променів вздовж обортання і навпаки можуть бути подані у вигляді:

${\displaystyle v_{f}^{\pm }={\frac {c}{n}}\pm (1-f)R\omega }$,

де ${\displaystyle f=1-1/n^{2}}$ — коефіцієнт захвату Френеля. Тоді результуючі швидкості можна переписати у вигляді:

${\displaystyle v_{f}^{\pm }={\frac {c}{n}}\pm {\frac {R\omega }{n^{2}}}}$.

Час, який витрачають два промені світла для обходження кільця буде:

${\displaystyle t^{\pm }={\frac {2\pi R}{c/n\mp R\omega /n^{2}}}}$.

Різниця часу проходження двох променів по кільцю буде:

${\displaystyle \Delta t=t^{+}-t^{-}={\frac {4\pi R^{2}\omega }{c^{2}(1-R^{2}\omega ^{2}/c^{2}n^{2})}}}$.

Враховуючи очевидне співвідношення ${\displaystyle R^{2}\omega ^{2}\ll c^{2}n^{2}}$, цей вираз можна переписати:

${\displaystyle \Delta t\approx {\frac {4\pi R^{2}\omega }{c^{2}}}}$,

звідки видно, що результат не залежить від показника заломлення для конкретного середовища (медіа).

Релятивістська модель

Першим, хто спробував пояснити ефект Саньяка в рамках релятивістського підходу був Зільберштейн. Оскільки даний ефект не є продуктом штучного вибору системи відліку, тому він також не залежить від її вибору. Зільберштейн використав метрику Мінковського і зробив перетворення координат ${\displaystyle x=r\cos \left(\theta +\omega t\right)}$ та ${\displaystyle y=r\sin \left(\theta +\omega t\right)}$, тоді лінійний елемент метрики буде:

${\displaystyle ds^{2}=(c^{2}-r^{2}\omega ^{2})\,dt^{2}-dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-dz^{2}-2r^{2}\omega \,dt\,d\theta }$

де

• ${\displaystyle t}$ — істинний час для спостерігача,
• ${\displaystyle r}$ — відстань від центру,
• ${\displaystyle \theta }$ — кутова відстань вздовж кільця в напрямі спостерігача,
• ${\displaystyle z}$ — напрям, перпендикулярний до площі кільця, та
• ${\displaystyle \omega }$ — швидкість обертання кільця та спостерігача.

В рамках цієї метрики швидкість світла тангенціальна до кільця ${\displaystyle c\pm r\omega }$ і залежить від напряму розповсюдження світла вздовж кільця. Слід відзначити, що тільки у випадку ${\displaystyle \omega =0}$ ми маємо «інерційну систему». Проте у випадку ${\displaystyle \omega \neq 0}$ ми маємо «неінерційну систему». Ось чому в точці спостерігача (при ${\displaystyle r=0}$) ми маємо відмінні значення від ${\displaystyle c}$ швидкості світла, які змінюються в залежності від напряму їх приходу.

Проте цей підхід не сподобався Зільберштейну і в подальшому він звернувся до загальної теорії відносності. Більш детально ця проблема висвітлена в роботі Маликіна. Безумовно Зільберштейн знав думку Ейнштейна з цього приводу:

«Кінематична еквівалентність двох систем координат в дійсності не обмежується випадком, коли дві системи рухаються рівномірно та прямолінійно. Ця еквівалентність з кінематичної точки зору також добре виконується у випадку, коли одна система рівномірно обертається відносно іншої».

Що зробив Макс фон Лауе?

Традиційно вважається, що Макс фон Лауе продовжив розгляд роботи Майкельсона на основі теорії відносності… Чи вірно це? Насправді Макс фон Лауе в кінці своєї статі написав:

«Таким чином, ми бачимо, що всі теорії, котрі всерйоз можна взяти до уваги в галузі оптики рухомих середовищ, наприклад, концепція Герца, ніколи не належали до них, оскільки інтерференційний дослід Фізо відповідає даним критеріям (а теорія Герца – ні!) . Проте вибір між цими теоріями знаходиться за межами даного експерименту. Але, попри це, даний експеримент слід провести, оскільки оптика рухомих середовищ ще не випробовувалась точними експериментами, і тому розширення експериментальних основ (фізики) є бажаним.»

Ніяких посилань на спеціальну теорію відносності в формі Лоренца, чи Ейнштейна в статті Лауе немає. Проте є посилання на Кохна, спеціаліста по електродинаміці, яке варте уваги.

Електродинаміка Кохна

Питання, яке випливає із статті Майкельсона, має відповідь в рамках електродинамічного підходу Кохна. Коротко, його положення є наступні: якщо уявити площину експеримента в довільній точці на Землі тангенціонально до неї, то часове зміщення dt, необхідне світлу для проходження відстані ds (вимірюване на землі) може бути подане у формі ${\displaystyle {\tfrac {{\mathfrak {q}}_{s}ds}{c^{2}}}}$, якщо ds рухається зі швидкістю ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$. Тому розповсюдження світла для позитивного напряму обертання буде ${\displaystyle {\tfrac {1}{c^{2}}}\int \limits _{0}{\mathfrak {q}}_{s}ds}$ довше ніж у протилежному випадку, а тому буде менше для негативного обертання променя в даній точці. Якщо ми використаємо для лінійного інтегралу теорему Стокса, тоді можна знайти

${\displaystyle \Delta \tau =r_{+}-r_{-}={\frac {2}{c^{2}}}\int \limits _{0}{\mathfrak {q}}_{s}ds={\frac {2}{c^{2}}}F\ {\mathsf {rot}}_{n}{\mathfrak {q}}}$

Проте, якщо Ω є кутова швидкість обертання Землі, то

${\displaystyle \left|\mathrm {rot} \ {\mathfrak {q}}\right|=2\Omega ,}$

де φ — широта проведення експерименту,

${\displaystyle {\mathsf {rot}}_{n}{\mathfrak {q}}=2\Omega \ \sin \varphi }$

і відповідно до формули (6), буде:

${\displaystyle \Delta \tau ={\frac {4}{c^{2}}}\Omega F\ \sin \varphi .}$

Може здатися сумнівним, звичайно, чи допустимо використання лінійного інтегралу по об'єму n-gon; оскільки промені, по відношенню до площі, що обертається, не можуть розповсюджуватися по прямих лініях. Проте детальний розгляд даних обставин, дасть тільки корекцію більш високого порядку відносно Δτ.

Таким чиним, із того факту, що Макс фон Лауе заперечував підхід Генріха Герца, зовсім не випливає, що він перший описав ефект Саньяка з позицій спеціальної теорії відносності! Більше того, Макс фон Лауе по замовчуванню не може бути т.з. «передвісником» ефекту Саньяка, оскільки він тривіально модернізував «теорію стаціонарного ефіру Майкельсона»! Іншими словами, саме Альберт Майкельсон і є справжнім автором т.з. «ефекту Саньяка»…

Квантова природа ефекта Саньяка

Квантова природа ефекта Саньяка базується на підході Майкельсона (1904), котрий вперше почав розглядати циркуляцію вектора по замкнутому контуру. Звичайно, Майкельсон не знав квантової механіки, котрої на той час ще не було, проте він був прихильником «медіафізики Гельмгольца» і тому цілком розумів природу «вортексів», котрі в потенції містили в собі майбутню квантову презентацію. Відомо, що квантування циркуляції швидкості було відкрите Фейнманом тільки всередині 50-х років 20-го століття, тому квантові підходи до розуміння ефекту Саньяка з'явились тільки на кінець 20-го століття. В рамках стандартної фізики ці підходи називаються «методи аналогій», і розцінюються на відміну «ефіроносних підходів» більш м'яко, як «попутчики» релятивістського підходу. Одні дослідники розглядають, як варіант фази Беррі, а інші — як аналог ефекта Ааронова Бома.

В загальному випадку циркуляція швидкості може бути записана у вигляді:

${\displaystyle \Phi _{v}=\oint _{L}\mathbf {v} ,d\mathbf {l} =\iint _{S}rot\mathbf {v} ,d\mathbf {s} =2\iint _{S}\omega ,d\mathbf {s} }$.

Квант циркуляції швидкості записується у формі Фейнмана:

${\displaystyle \Phi _{v}(n)=2\iint _{S_{q}}\omega ,d\mathbf {s} ={\frac {h}{m_{v}}}n=\Phi _{n0}n}$,

де ${\displaystyle n=integer}$, ${\displaystyle \Phi _{n0}=h/m_{v}}$ — квант циркуляції швидкості, або вортекс/вихор, ${\displaystyle h}$ — стала Планка, а ${\displaystyle m_{v}}$ — «вортексна маса». Відносний фазовий зсув можна визначити як відношення циркуляцій швидкості:

${\displaystyle \xi _{v}={\frac {\Phi _{v}}{\Phi _{v0}}}={\frac {2m_{v}}{h}}\iint _{S}\omega ,d\mathbf {s} ={\frac {2m_{v}}{h}}(\mathbf {\omega } \cdot \mathbf {s} )}$.

У випадку, коли вортексна маса рівна двом масам фотона світла

${\displaystyle m_{v}=2m_{\lambda }=2{\frac {h}{c\lambda }}}$

можна отримати загальний вираз для відносного зсуву фази у вигляді:

${\displaystyle \xi _{v}={\frac {4}{c\lambda }}(\mathbf {\omega } \cdot \mathbf {s} )={\frac {c}{\lambda }}\Delta t}$,

де

${\displaystyle \Delta t=4(\mathbf {\omega } \cdot \mathbf {s} )/c^{2}}$

є різниця часу для квантового ефекту Саньяка.

Медіафізика вихорів Гельмгольца

В 1858 році Гельмгольц не тільки визначив кінематично вортексний/вихровий рух, проте він також в основному довів до кінця і свою динамічну теорію. Основний зміст цієї теорії полягає в законі збереження: вихори не можуть виникати а також не можуть зникати. Або в більш загальній формі — інтенсивність вихору постійна в часі. Томсон спростив підхід Гельмгольца, використавши математичне поняття циркуляції (тоді ще не було визначення векторів!). таким чином, в рамках підходу Гельмгольца — Томсона циркуляція швидкості по замкнутому контуру є величина:

${\displaystyle \Phi _{v}=\oint _{L}\mathbf {v} ,d\mathbf {l} }$.

В сучасних термінах теорема про збереження вортекса Гельмгольца може бути сформульована як:

Циркуляція вздовж довільного замкнутого контуру, який складається з частинок рідини, зберігається незмінною протягом всього часу свого існування

${\displaystyle {\frac {d\Phi _{v}}{dt}}=0}$, ${\displaystyle \Phi _{v}=const.}$

Один із наслідків теореми полягає в тому, що для кільцевого вортексу, який наближається до плоскої стінки, його розміри збільшуються (див. мал.32). В граничному випадку, коли стінка має нескінченні розміри, тоді вортекс може «зникнути» (буде поглинутий стінкою). Дане твердження не суперечить теоремі Гельмгольца, оскільки одностороннє обмеження простору з довільного боку неможливе в природі. Екрани або стінки завжди мають обмежені розміри і тому наближення вихору до них тільки збільшує їх розміри.

Див. також

• Експеримент Майкельсона - Гейла
• Корпускулярно-хвильовий дуалізм
• Волоконно-оптичний гіроскоп

Примітки

1. Michelson, A.A. (1904). Relative Motion of Earth and Aether . Philosophical Magazine. 8 (48): 716—719.
2. Anderson, R., Bilger, H.R., Stedman, G.E. (1994). Sagnac effect: A century of Earth-rotated interferometers. Am. J. Phys. 62 (11): 975—985. Bibcode:1994AmJPh..62..975A. doi:10.1119/1.17656.
3. Lodge, Oliver (1897). Experiments on the Absence of Mechanical Connexion between Ether and Matter . Phil. Trans. Roy. Soc. 189: 149—166.
4. Pauli, Wolfgang (1981). Theory of Relativity. New York: Dover. ISBN .
5. Laue, Max von (1911). On an Experiment on the Optics of Moving Bodies . Münchener Sitzungsberichte: 405—412.
6. Sagnac, Georges (1913). The demonstration of the luminiferous aether by an interferometer in uniform rotation . Comptes Rendus. 157: 708—710.
7. Sagnac, Georges (1913). On the proof of the reality of the luminiferous aether by the experiment with a rotating interferometer . Comptes Rendus. 157: 1410—1413.
8. Albert Abraham Michelson, Henry G. Gale: The Effect of the Earth's Rotation on the Velocity of Light [ 9 січня 2016 у Wayback Machine.], in: The Astrophysical Journal 61 (1925), S. 140—145
9. Малыкин Г. Б. Эффект Саньяка. Корректные и некорректные объяснения. УФН, т.170, № 12.
10. Берштейн И. Л. ДАН СССР, т.75,635с.(1950)
11. Ludwik Silberstein (1921) «The Propagation of Light in Rotating Systems.» JOSA Vol. 5, No.4, p. 291—307
12. Einshtein A. Sitzungsber. Preuss. Akad.Wiss. v.2,p.1030 (1914)
13. Laue, Max von (1911). On an Experiment on the Optics of Moving Bodies . Münchener Sitzungsberichte: 405—412.
14. E. COHN, Berliner Berichte 1904, p. 1404
15. Feynman R. P. Application of quantum mechanics to liquid helium // Progress in Low Temperature Physics. — Т. 1. — (1955) С. 17–53
16. Anderson R, Bilger H R, Stedman G E Am. J. Phys. 62 975 (1994)
17. Sakurai J.J.,Phys. Rev. D, 21, 2993 (1980)
18. Guido Rizzi, Matteo Luca Ruggiero. The Sagnac Phase Shift suggested by the Aharonov-Bohm effect for relativistic matter beams. arXiv: gr-qc/0305046v 13 May 2003
19. Зоммерфельд А. Механика деформируемых сред. Пер. с немецкого под ред. Е. М. Лифшица, М.:Из-во Иностр. Лит., 1954, 486с.
20. Thomson W. About vortex motion. Trans. Roy. Soc. Edinburg,25 (1869)

Посилання

• Large Laser Gyroscopes for Monitoring Earth Rotation [ 1 липня 2009 у Wayback Machine.]
• Mathpages article on the Sagnac Effect
• (Extensive review by G E Stedman. PDF-file, 1.5 MB)
• GPS-related article by Neil Ashby