Епіциклічна частота

Епіциклічна частота — це частота, з якою коливатися тіло, слабко зміщене відносно колової орбіти в симетричному гравітаційному потенціалі. При цьому рух досліджуються в системі відліку, пов'язаній з «ведучим центром» — уявною точкою на незбуреній коловій орбіті з тим самим періодом обертання. Назва походить від епіциклів, якими описувався руз планет в системі Птолемея, і на які буває схожим обертання тіла навколо ведучого центру.

Поняття епіциклічної частоти буває зручним для опису різних астрофізичних дисків: руху частинок в кільцях планет, руху газу в акреційному диску, зоряної динаміки в галактичному диску. Іноді це поняття також використовують для дослідження кеплерівських орбіт в небесній механіці або динаміці космічних кораблей.

Епіциклічна частота ${\displaystyle \kappa }$ виражається через період обертання ${\displaystyle \Omega }$ і радіус R наступною формулою:

${\displaystyle \kappa ^{2}\equiv {\frac {2\Omega }{R}}{\frac {d}{dR}}(R^{2}\Omega )}$

Для кеплерівської орбіти ${\displaystyle \kappa =\Omega }$, епіциклічний і орбітальний рух синхронізовані, і орбіта замкнута.

Опис

В астрофізиці може розглядатися рух тіла у певному гравітаційному потенціалі, наприклад, рух у галактиці. Однак навіть якщо гравітаційний потенціал є симетричним щодо будь-якої виділеної осі, то рівняння, що описують рух тіла, можуть мати аналітичні розв'язки лише в окремих випадках — наприклад, в задачі двох тіл, коли вся маса, що створює поле тяжіння, знаходиться в одній точці. Ця обставина змушує розглядати рух у спрощеному вигляді. Якщо траєкторія руху зорі в галактиці близька до кола, можна розглянути колову орбіту в площині галактики, за якою рух відбувався б з тією ж частотою ${\displaystyle \Omega }$, та досліджувати коливання зорі навколо точки на цій коловій орбіті. Частота таких коливань у площині диска називається епіциклічною частотою та позначається ${\displaystyle \kappa }$. Наприклад, для потенціалу точкової маси, в якому ${\displaystyle \Omega \propto R^{-3/2}}$, і рух пробного тіла відбувається за законами Кеплера, ${\displaystyle \kappa =\Omega }$. В інших випадках, які можуть виникнути на практиці, найчастіше ${\displaystyle \Omega \lesssim \kappa \lesssim 2\Omega }$.

Розгляд задачі у такому вигляді називається епіциклічним наближенням. Назва пов'язана з тим, що рух у площині галактики щодо колового руху відбувається за еліпсом і тим самим нагадує рух епіциклом.

Вивод

У загальному вигляді рівняння руху зорі у циліндричних координатах ${\displaystyle R,\theta ,z}$ у потенціалі ${\displaystyle \Phi =\Phi (R,\theta ,z)}$ виглядають наступним чином:

${\displaystyle {\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}=R\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+{\frac {\partial \Phi }{\partial R}}\,,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(R^{2}{\frac {d\theta }{dt}}\right)={\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}\,,}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,.}$

Для осесиметричного потенціалу ${\displaystyle \Phi =\Phi (R,z)}$ друге з цих рівнянь має 0 в правій частині і після інтегрування дає ${\displaystyle R^{2}{\frac {d\theta }{dt}}=h}$, де ${\displaystyle h}$ — стала, звана інтегралом площ. Рух орбітою, близькою до колової, можна представити як суму колового руху по орбіті навколо центру галактики у площині диска і малих відхилень. У циліндричних координатах ${\displaystyle R,\theta ,z}$ рух буде виражено формулами:

${\displaystyle R=R_{0}+\delta R\,,}$

${\displaystyle \theta =\theta _{0}+\delta \theta =\omega _{0}(t-t_{0})+\delta \theta \,,}$

${\displaystyle z=\delta z\,.}$

Тут ${\displaystyle R_{0}}$ — Радіус відповідної колової орбіти, ${\displaystyle \theta _{0}}$ — азимутальний кут відносно центру галактики для рівномірного колового руху. Для заданої орбіти можна визначити ${\displaystyle R_{0}}$ так, щоб ${\displaystyle h}$ для колової орбіти з радіусом ${\displaystyle R_{0}}$ збігався з ${\displaystyle h}$ для заданої орбіти. Також за допомогою ${\displaystyle h}$ можна переписати перше рівняння руху.

${\displaystyle {\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}={\frac {h^{2}}{R^{3}}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial R}}\,,}$

${\displaystyle R^{2}{\frac {d\theta }{dt}}=h\,,}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,.}$

Частота обертання галактики ${\displaystyle \omega _{0}}$ на радіусі ${\displaystyle R_{0}}$ визначається як ${\displaystyle \omega _{0}=h/R_{0}^{2}}$. Розглядаючи колові орбіти, з першого рівняння можна отримати такий вираз, в якому нижній індекс 0 означає взяття похідної в точці ${\displaystyle R_{0}}$:

${\displaystyle h^{2}=-R_{0}^{3}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial R}}\right)_{0}\,.}$

Потенціал ${\displaystyle \Phi (R,z)}$ можна розкласти в ряд за степенями ${\displaystyle R-R_{0}}$ і ${\displaystyle z}$ і залишити лише перші степені. Тоді вийде:

${\displaystyle {\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}=\left[1-\left({\frac {R}{R_{0}}}\right)^{-3}\right]\left({\frac {\partial \Phi }{\partial R}}\right)_{0}+\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial R^{2}}}\right)(R-R_{0})\,,}$

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=\omega _{0}\left({\frac {R}{R_{0}}}\right)^{-2}\,,}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}\right)_{0}z\,.}$

Повертаючись до значень малих відхилень від колового руху, можна переписати рівняння так:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\delta R}{dt^{2}}}=\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial R^{2}}}+{\frac {3}{R}}{\frac {\partial \Phi }{\partial R}}\right)_{0}\delta R\,,}$

${\displaystyle {\frac {d\delta \theta }{dt}}=-2{\frac {\omega _{0}}{R_{0}}}\delta R\,,}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}=\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}\right)_{0}\delta z\,.}$

Значення в дужках зазвичай є від'ємними, і тоді перше і третє рівняння є рівняннями гармонічних коливань. Можна ввести такі позначення:

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial R^{2}}}+{\frac {3}{R}}{\frac {\partial \Phi }{\partial R}}\right)_{0}=-\kappa ^{2}\,,}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}\right)_{0}=-\nu ^{2}\,.}$

Тоді рішення рівнянь набудуть наступного вигляду:

${\displaystyle \delta R=a\sin \kappa (t-t_{1})\,,}$

${\displaystyle \delta \theta =2{\frac {\omega _{0}}{\kappa R_{0}}}a\cos \kappa (t-t_{1})\,,}$

${\displaystyle \delta z=b\sin \nu (t-t_{2})\,.}$

У цих формулах ${\displaystyle a,b,t_{1},t_{2}}$ — сталі інтегрування. Вид формул означає, що при відхиленні від колової орбіти тіло в галактичній площині рухається еліпсом навколо точки на коловій орбіті з частотою ${\displaystyle \kappa }$, а вздовж осі ${\displaystyle z}$ здійснює гармонічні коливання із частотою ${\displaystyle \nu }$. Величина ${\displaystyle \kappa }$ і називається епіциклічною частотою, а ${\displaystyle \nu }$ — вертикальною частотою, її квадрат називають динамічним параметром і часто позначають ${\displaystyle C^{2}}$. Частоти обертання навколо центру галактики, коливань у площині галактики й перпендикулярно до неї зазвичай не збігаються, так що орбіта в загальному випадку не замкнута.

Застосування

Епіциклічну частоту в околицях Сонця можна оцінити через : ${\displaystyle \kappa ^{2}=4B(B-A)}$. В цій області ${\displaystyle \kappa }$ дорівнює приблизно 32 км/с/кпк, і період епіциклічних коливань становить приблизно 80 % періоду обертання Галактики. Динамічний параметр ${\displaystyle C^{2}}$ залежить від дисперсії швидкостей ${\displaystyle \sigma _{z}}$ у напрямку, перпендикулярному до диску Галактики, та розподілу густини ${\displaystyle \rho }$:

${\displaystyle C^{2}=-\sigma _{z}^{2}{\frac {\partial ^{2}\ln \rho }{\partial z^{2}}}\,.}$

В околицях Сонця період вертикальних коливань становить 45 % періоду обертання Галактики. Густину речовини в диску Галактики поблизу Сонця можна виразити через динамічний параметр і сталі Оорта:

${\displaystyle 4\pi G\rho =C^{2}-2(A^{2}-B^{2})\,.}$

Оцінка густини, отримана таким чином, називається динамічною і становить для околиць Сонця 6 × 10⁻²⁴ г/см³.

Примітки

1. p161, Astrophysical Flows, Pringle and King 2007
2. Локтин А.В., Марсаков В.А. Лекции по звёздной астрономии. — 2009. — С. 232.
3. Звездная астрономия в лекциях. 16.1. Эпициклическое приближение. Астронет. Процитовано 6 лютого 2023.
4. Binney, Tremaine, 2008, с. 165.
5. Binney, Tremaine, 2008, с. 164—165.

Література

• Binney J., Tremaine S. Galactic Dynamics: Second Edition. — Princeton University Press, 2008. — 903 с. — .