Згасні́ колива́ння — коливання, енергія яких зменшується з плином часу.
Процес, що триває нескінченно, вигляду в природі неможливий. Вільні коливання будь-якого осцилятора рано чи пізно загасають і припиняються. Тому на практиці звичайно мають справу зі згасними коливаннями. Вони характеризуються тим, що амплітуда коливань A є спадною функцією. Зазвичай загасання відбувається під дією сил опору середовища, найчастіше залежних лінійно від швидкості коливань або її квадрату.
В акустиці: загасання — зменшення рівня сигналу до повної нечутності.
Коливання можна описати такими типами:
- Надзгасні (англ. overdamped): Система повертається до рівноваги без коливань.
- Критично згасні (англ. critically damped): Система повертається до рівноваги так швидко як це можливо без коливань.
- Слабко згасні (англ. underdamped): Система коливається (з меншою частотою порівняно до незгасного випадку) з амплітудою, що поступово зменшується до нуля.
- Незгасні (англ. undamped): Система коливається в її природній резонансній частоті ().
Лінійне згасання
Особливо корисний у математиці тип згасання — лінійне. Лінійне згасання зустрічається за умови коли змінна коливання амортизується силою, що впливає на неї прямо пропорційно до миттєвої швидкості змінювання, швидкості або похідної по часу самої змінної.
У фізиці й інженерії, згасання математично можна змоделювати як силу синхронну зі швидкістю об'єкта, але в протилежному напрямку до неї. Якщо ця сила пропорційна швидкості, як для простого механічного демпфера, силу можна співвіднести зі швидкістю так
де c — коефіцієнт згасання, заданий в одиницях ньютон-секунда на метр.
Цю силу можна використовувати як приблизне тертя спричинене опором середовища і можна втілити за допомогою демпфера. (Цей пристрій використовує в'язку рідину, таку як мастило, для забезпечення спротиву який лінійно співвідноситься зі швидкістю.) Навіть коли тертя пов'язане з , якщо швидкість обмежена маленьким діапазоном, то цій нелінійний вплив може бути маленьким. У такому разі, можна визначити лінеаризований коефіцієнт тертя так, що він дає маленьку помилку.
Якщо наявна відновлювальна сила (така як завдяки пружині), яка пропорційна зміщенню і у протилежному напрямку, то через прирівнювання суми цих двох сил до маси об'єкта помноженої на прискорення можемо отримаємо диференціальне рівняння другого порядку чиї члени можна вишикувати таким чином:
де ω0 це незгасна кутова частота осцилятора і ζ відома як . Це рівняння чинне для багатьох коливальних систем, але з різними формулами для швидкості згасання і незгасної кутової швидкості.
Значення швидкості згасання ζ визначає поведінку системи так, що ζ = 1 відповідає критично згасним коливанням, більші значення відповідають надзгасним, а менші значення слабко згасним коливанням. Якщо ζ = 0, тоді коливання незгасні.
Приклад: маса-пружина-демпфер
Ідеальна система маса-пружина-демпфер з масою m, коефіцієнтом жорсткості k і в'язким демпфером з коефіцієнтом в'язкості c піддається коливальній силі
і гамувальній силі
Розглядаючи масу як вільне тіло і застосовуючи другий закон Ньютона, сумарна сила Ftot на тіло така
де a це прискорення маси і x це зміщення маси щодо фіксованої точки.
Оскільки Ftot = Fs + Fd,
Це диференціальне рівняння можна перегрупувати як
Тоді визначені такі параметри:
Перший параметр, ω0, називається (незгасна) природна частота системи. Другий параметр, ζ, називається . Природна частота представляє кутову частоту, виражена в радіанах на секунду. Швидкість згасання є безрозмірнісною величиною.
Тепер диференційне рівняння набуває вигляду
Продовжуючи, ми можемо розв'язати рівняння припускаючи розв'язок x таким що:
де параметр є, загалом кажучи, комплексним числом.
Підставляння цього розв'язку назад у диференціальне рівняння дає
що є (характеристичним рівнянням).
Розв'язування характеристичного рівняння надасть нам два корені, і . Які можуть бути або обидва дійсні, відмінні чи однакові, або обидва комплексні.
Поведінка системи
Поведінка системи залежить від співвідношення значень двох засадничих параметрів, природної частоти ω0 і коефіцієнту згасання ζ. Зокрема, якісна поведінка системи критично залежить на тому чи квадратне рівняння для γ має одне дійсне, два дійсних, чи два спряжених комплексних розв'язки.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Zgasni koliva nnya kolivannya energiya yakih zmenshuyetsya z plinom chasu Slabko zgasni kolivannya mayatnika Proces sho trivaye neskinchenno viglyadu u t A cos w t q displaystyle scriptstyle u t A cos omega t q v prirodi nemozhlivij Vilni kolivannya bud yakogo oscilyatora rano chi pizno zagasayut i pripinyayutsya Tomu na praktici zvichajno mayut spravu zi zgasnimi kolivannyami Voni harakterizuyutsya tim sho amplituda kolivan A ye spadnoyu funkciyeyu Zazvichaj zagasannya vidbuvayetsya pid diyeyu sil oporu seredovisha najchastishe zalezhnih linijno vid shvidkosti kolivan u t displaystyle scriptstyle u t abo yiyi kvadratu V akustici zagasannya zmenshennya rivnya signalu do povnoyi nechutnosti Kolivannya mozhna opisati takimi tipami Nadzgasni angl overdamped Sistema povertayetsya do rivnovagi bez kolivan Kritichno zgasni angl critically damped Sistema povertayetsya do rivnovagi tak shvidko yak ce mozhlivo bez kolivan Slabko zgasni angl underdamped Sistema kolivayetsya z menshoyu chastotoyu porivnyano do nezgasnogo vipadku z amplitudoyu sho postupovo zmenshuyetsya do nulya Nezgasni angl undamped Sistema kolivayetsya v yiyi prirodnij rezonansnij chastoti w 0 displaystyle omega 0 Linijne zgasannyaOsoblivo korisnij u matematici tip zgasannya linijne Linijne zgasannya zustrichayetsya za umovi koli zminna kolivannya amortizuyetsya siloyu sho vplivaye na neyi pryamo proporcijno do mittyevoyi shvidkosti zminyuvannya shvidkosti abo pohidnoyi po chasu samoyi zminnoyi U fizici j inzheneriyi zgasannya matematichno mozhna zmodelyuvati yak silu sinhronnu zi shvidkistyu ob yekta ale v protilezhnomu napryamku do neyi Yaksho cya sila proporcijna shvidkosti yak dlya prostogo mehanichnogo dempfera silu F displaystyle F mozhna spivvidnesti zi shvidkistyu v displaystyle v tak F c v displaystyle F cv de c koeficiyent zgasannya zadanij v odinicyah nyuton sekunda na metr Cyu silu mozhna vikoristovuvati yak priblizne tertya sprichinene oporom seredovisha i mozhna vtiliti za dopomogoyu dempfera Cej pristrij vikoristovuye v yazku ridinu taku yak mastilo dlya zabezpechennya sprotivu yakij linijno spivvidnositsya zi shvidkistyu Navit koli tertya pov yazane z v 2 displaystyle v 2 yaksho shvidkist obmezhena malenkim diapazonom to cij nelinijnij vpliv mozhe buti malenkim U takomu razi mozhna viznachiti linearizovanij koeficiyent tertya c l i n displaystyle c lin tak sho vin daye malenku pomilku Yaksho nayavna vidnovlyuvalna sila taka yak zavdyaki pruzhini yaka proporcijna zmishennyu x displaystyle x i u protilezhnomu napryamku to cherez pririvnyuvannya sumi cih dvoh sil do masi ob yekta pomnozhenoyi na priskorennya mozhemo otrimayemo diferencialne rivnyannya drugogo poryadku chiyi chleni mozhna vishikuvati takim chinom d 2 x d t 2 2 z w 0 d x d t w 0 2 x 0 displaystyle frac d 2 x dt 2 2 zeta omega 0 frac dx dt omega 0 2 x 0 de w0 ce nezgasna kutova chastota oscilyatora i z vidoma yak Ce rivnyannya chinne dlya bagatoh kolivalnih sistem ale z riznimi formulami dlya shvidkosti zgasannya i nezgasnoyi kutovoyi shvidkosti Znachennya shvidkosti zgasannya z viznachaye povedinku sistemi tak sho z 1 vidpovidaye kritichno zgasnim kolivannyam bilshi znachennya vidpovidayut nadzgasnim a menshi znachennya slabko zgasnim kolivannyam Yaksho z 0 todi kolivannya nezgasni Priklad masa pruzhina dempfer Masa prikriplena do pruzhini ta dempfera Idealna sistema masa pruzhina dempfer z masoyu m koeficiyentom zhorstkosti k i v yazkim dempferom z koeficiyentom v yazkosti c piddayetsya kolivalnij sili F s k x displaystyle F mathrm s kx i gamuvalnij sili F d c v c d x d t c x displaystyle F mathrm d cv c frac dx dt c dot x Rozglyadayuchi masu yak vilne tilo i zastosovuyuchi drugij zakon Nyutona sumarna sila Ftot na tilo taka F t o t m a m d 2 x d t 2 m x displaystyle F mathrm tot ma m frac d 2 x dt 2 m ddot x de a ce priskorennya masi i x ce zmishennya masi shodo fiksovanoyi tochki Oskilki Ftot Fs Fd m x k x c x displaystyle m ddot x kx c dot x Ce diferencialne rivnyannya mozhna peregrupuvati yak x c m x k m x 0 displaystyle ddot x c over m dot x k over m x 0 Todi viznacheni taki parametri w 0 k m displaystyle omega 0 sqrt k over m z c 2 m k displaystyle zeta c over 2 sqrt mk Pershij parametr w0 nazivayetsya nezgasna prirodna chastota sistemi Drugij parametr z nazivayetsya Prirodna chastota predstavlyaye kutovu chastotu virazhena v radianah na sekundu Shvidkist zgasannya ye bezrozmirnisnoyu velichinoyu Teper diferencijne rivnyannya nabuvaye viglyadu x 2 z w 0 x w 0 2 x 0 displaystyle ddot x 2 zeta omega 0 dot x omega 0 2 x 0 Prodovzhuyuchi mi mozhemo rozv yazati rivnyannya pripuskayuchi rozv yazok x takim sho x e g t displaystyle x e gamma t de parametr g displaystyle gamma ye zagalom kazhuchi kompleksnim chislom Pidstavlyannya cogo rozv yazku nazad u diferencialne rivnyannya daye g 2 2 z w 0 g w 0 2 0 displaystyle gamma 2 2 zeta omega 0 gamma omega 0 2 0 sho ye harakteristichnim rivnyannyam Rozv yazuvannya harakteristichnogo rivnyannya nadast nam dva koreni g displaystyle gamma i g displaystyle gamma Yaki mozhut buti abo obidva dijsni vidminni chi odnakovi abo obidva kompleksni Povedinka sistemi Chasova zalezhnist povedinki sistemi vid znachen koeficiyenta zgasannya z dlya nezgasnogo sinim slabko zgasnogo zelenim kritichno zgasnogo chervonim i nadzgasngo blakitnim vipadkiv za umovi nulovoyi pochatkovoyi shvidkosti Povedinka sistemi zalezhit vid spivvidnoshennya znachen dvoh zasadnichih parametriv prirodnoyi chastoti w0 i koeficiyentu zgasannya z Zokrema yakisna povedinka sistemi kritichno zalezhit na tomu chi kvadratne rivnyannya dlya g maye odne dijsne dva dijsnih chi dva spryazhenih kompleksnih rozv yazki