Граф Пейлі

В теорії графів графами Пелі (на честь ^[en]) називають щільні неорієнтовані графи, побудовані з членів відповідного скінченного поля шляхом з'єднання пар елементів, що відрізняються на квадратичний лишок. Графи Пелі утворюють нескінченне сімейство конференційних графів, оскільки тісно пов'язані з нескінченним сімейством симетричних конференційних матриць. Графи Пелі дають можливість застосувати теоретичні засоби теорії графів у теорії квадратичних лишків і мають цікаві властивості, що робить їх корисними для теорії графів загалом.

Граф Пелі
Граф Пелі порядку 13
Названо на честь	^[en]
(Вершин)	q ≡ 1 mod 4, q — степінь простого числа
(Ребер)	q(q − 1)/4
(Діаметр)	2
Властивості	сильно регулярний конференційний самодоповняльний
Позначення	QR(q)

Графи Пелі тісно пов'язані з побудовою Пелі для побудови матриць Адамара з квадратичних лишків (Пелі, 1933). Як графи їх незалежно ввели Закс (Sachs, 1962) і Ердеш спільно з Реньї (Erdős, Rényi, 1963). Горст Закс (Horst Sachs) цікавився ними через їхню властивість самодоповнюваності, тоді як Ердеш і Реньї вивчали їхні симетрії.

Орграфи Пелі є прямим аналогом графів Пелі і відповідають антисиметричним конференційним матрицям. Їх увели Грем і Спенсер (і, незалежно, Закс, Ердеш і Реньї) як шлях побудови турніру з властивостями, раніше відомими тільки для випадкових турнірів: в орграфах Пелі підмножина вершин домінується будь-якою вершиною.

Визначення

Нехай q — степінь простого числа, такий, що q = 1 (mod 4). Зауважимо, що звідси випливає існування квадратного кореня з −1 в єдиному скінченному полі F_q, що має порядок q.

Нехай також V = F_q і

${\displaystyle E=\left\{(a,b)\in \mathbf {F} _{q}\times \mathbf {F} _{q}\ :\ a-b\in (\mathbf {F} _{q}^{\times })^{2}\right\}}$.

Ця множина коректно визначена, оскільки a − b = −(b − a), і −1 є квадратом якогось числа, звідки випливає, що a − b є квадратом тоді і лише тоді, коли b − a є квадратом.

За визначенням G = (V, E) — граф Пелі порядку q.

Приклад

Задля q = 13 поле F_q утворюється числами за модулем 13. Числа, що мають квадратні корені за модулем 13:

• ±1 (квадратні корені ±1 для +1, ±5 для −1)
• ±3 (квадратні корені ±4 для +3, ±6 для −3)
• ±4 (квадратні корені ±2 для +4, ±3 для −4).

Таким чином, граф Пелі утворюють вершини, які відповідають числам з інтервалу [0,12], і кожна вершина x з'єднана з шістьма сусідами: x ± 1 (mod 13), x ± 3 (mod 13), і x ± 4 (mod 13).

Властивості

• Графи Пелі є самодоповняльним — доповнення будь-якого графа Пелі ізоморфне самому графу.
• Ці графи сильно регулярні з параметрами

${\displaystyle srg\left(q,{\tfrac {1}{2}}(q-1),{\tfrac {1}{4}}(q-5),{\tfrac {1}{4}}(q-1)\right).}$

До того ж графи Пелі, фактично, утворюють нескінченне сімейство конференційних графів.

• Власні значення графів Пелі — це числа ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(q-1)}$ (з кратністю 1) і ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(-1\pm {\sqrt {q}})}$ (обидва з кратністю ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(q-1)}$) і можуть бути обчислені за допомогою ^[en].

• Якщо q — просте, межами ізопериметричного числа i(G) будуть:

${\displaystyle {\frac {q-{\sqrt {q}}}{4}}\leq i(G)\leq {\sqrt {\left(q+{\sqrt {q}}\right)\left({\frac {q-{\sqrt {q}}}{2}}\right)}}}$

Звідси випливає, що i(G)~O (q), і граф Пелі є експандером.

• Якщо q — просте, його граф Пелі є гамільтоновим циклом циркулянтного графа.

• Графи Пелі квазівипадкові (Чанг та ін., 1989) — число випадків, коли граф сталого порядку виявиться підграфом графа Пелі, дорівнює (в границі для великих q) тим самим, що й для випадкових графів, а за великих множин вершин має приблизно таке саме число ребер, що й у випадкових графів.

Застосування

• Граф Пелі 17-го порядку є єдиним найбільшим графом G, таким, що ні він сам, ні його доповнення не містять повного підграфа з 4 вершинами (Еванс та ін., 1981). З цього випливає, що число Рамсея R(4, 4) = 18.

• Граф Пелі 101-го порядку поки єдиний відомий максимальний граф G, такий, що ні G, ні його доповнення не містять повного підграфа з 6 вершинами.

• Сасакура використовував графи Пелі для узагальнення побудови ^[en].

Орграфи Пелі

Нехай q — степінь простого числа, такий, що q = 3 (mod 4). Тоді скінченне поле F_q порядку q не має квадратного кореня з −1. Отже, для будь-якої пари (a,b) різних елементів F_q або a − b, або b − a, але не обидва, є квадратами. Орграф Пелі — це орієнтований граф зі множиною вершин V = F_q і множиною дуг

${\displaystyle A=\left\{(a,b)\in \mathbf {F} _{q}\times \mathbf {F} _{q}\ :\ b-a\in (\mathbf {F} _{q}^{\times })^{2}\right\}.}$

Орграф Пелі є турніром, оскільки кожна пара різних вершин пов'язана дугою в одному і тільки в одному напрямку.

Орграф Пелі веде до побудови деяких антисиметричних конференційних матриць і двоплощинної геометрії.

Рід графа

Шість сусідів кожної вершини в графі Пелі 13-го порядку з'єднані в цикл, так що граф локально циклічний. Таким чином, цей граф можна вкласти в тріангуляцію Вітні тора, в якій кожна грань є трикутником і кожен трикутник є гранню. У загальнішому випадку, якщо який-небудь граф Пелі порядку q можна вкласти таким чином, що всі його грані є трикутниками, ми можемо обчислити рід отриманої поверхні за допомогою ейлерової характеристики ${\displaystyle {\tfrac {1}{24}}(q^{2}-13q+24)}$. ^[en] (Bojan Mohar, 2005) висловив гіпотезу, що мінімальний рід поверхні, в яку можна вкласти граф Пелі, десь біля цього значення в разі, якщо q є квадратом, і поставив питання, чи можна узагальнити такі межі. Зокрема, Могар припустив, що графи Пелі квадратного порядку можна вкласти в поверхні роду

${\displaystyle (q^{2}-13q+24)\left({\tfrac {1}{24}}+o(1)\right),}$

де член o(1) може бути будь-якою функцією від q, яка прямує до нуля при прямуванні q до нескінченності.

Вайт (White, 2001) знайшов вкладення графів Пелі порядку q ≡ 1 (mod 8), узагальнюючи природне вкладення графа Пелі 9-го порядку як квадратної ґратки на тор. Однак рід вкладення Вітні вищий приблизно в три рази від межі, яку Могар назвав у своїй гіпотезі.

Див. також

• Граф Брауера — Хемерса

Посилання

1. R. E. A. C. Paley. On orthogonal matrices // J. Math. Phys.. — Т. 12. — С. 311–320.
2. Asymmetric graphs // Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae. — 1963. — Т. 14, вип. 3–4 (17 липня). — С. 295–315. — DOI:10.1007/BF01895716.
3. R. L. Graham, J. H. Spencer. A constructive solution to a tournament problem // . — 1971. — Т. 14 (17 липня). — С. 45–48. — DOI:10.4153/CMB-1971-007-1.
4. Horst Sachs. Über selbstkomplementäre Graphen // Publicationes Mathematicae Debrecen. — 1962. — Т. 9 (17 липня). — С. 270–288.
5. Chung, Fan R. K., Р. Грэм, R. M. Wilson,. Quasi-random graps // . — 1989. — Т. 9, вип. 4 (17 липня). — С. 345–362. — DOI:10.1007/BF02125347.
6. Evans, R. J.; Pulham, J. R.; Sheehan, J. On the number of complete subgraphs contained in certain graphs // . — 1981. — Т. 30, вип. 3 (17 липня). — С. 364–371. — DOI:10.1016/0095-8956(81)90054-X.
7. Sasakura, Nobuo; Enta, Yoichi; Kagesawa, Masataka. Construction of rank two reflexive sheaves with similar properties to the Horrocks–Mumford bundle // Proc. Japan Acad., Ser. A. — 1993. — Т. 69, вип. 5 (17 липня). — С. 144–148. — DOI:10.2183/pjab.69.144.
8. White, A. T. Graphs of groups on surfaces // Interactions and models. — Amsterdam : North-Holland Mathematics Studies 188, 2001.

Література

• Baker, R. D.; Ebert, G. L.; Hemmeter, J.; Woldar, A. J. Maximal cliques in the Paley graphs of square order // J. Statist. Plann. Inference. — 1996. — Т. 56 (17 липня). — С. 33–38. — DOI:10.1016/S0378-3758(96)00006-7.
• Broere, I.; Döman, D.; Ridley, J. N. The clique numbers and chromatic numbers of certain Paley graphs // Quaestiones Mathematicae. — 1988. — Т. 11 (17 липня). — С. 91–93. — DOI:10.1080/16073606.1988.9631945.

Посилання

• Brouwer, Andries E. Paley graps. {{}}: Недійсний |deadurl=404 ()^{[недоступне посилання з червня 2018]}
• Mohar, Bojan (2005). PaleyGenus.html Genus of Paley graps.^{[недоступне посилання з вересня 2018]}