Відстань між прямими

Якщо в просторі аналітично задано дві прямі:

перша пряма проходить через точку ${\displaystyle \ p_{1}}$ в напрямку ${\displaystyle \ v_{1};}$

друга пряма проходить через точку ${\displaystyle \ p_{2}}$ в напрямку ${\displaystyle \ v_{2}.}$

Для спрощення формул позначимо через ${\displaystyle \ w=p_{2}-p_{1}.}$

Відстань між прямими

Знайдемо вектор перпендикулярний до обох прямих:

${\displaystyle \ n=v_{1}\times v_{2}}$

• Якщо ${\displaystyle \ n}$ дорівнює нулю, то прямі є паралельними і відстань між ними рівна:

${\displaystyle d={\sqrt {|w|^{2}-{\frac {\langle w,v_{1}\rangle ^{2}}{|v_{1}|^{2}}}}}}$ (див. відстань від точки до прямої).

• Якщо ні, тоді відстань рівна:

${\displaystyle d={\frac {\langle w,n\rangle }{|n|}}.}$

Найближна точка до іншої прямої

Точка першої прямої, що знаходиться найближче до другої прямої:

${\displaystyle {\acute {p_{1}}}=p_{1}+{\frac {\langle k,w\rangle }{\langle k,v_{1}\rangle }}v_{1},\qquad k=n\times v_{2}=v_{1}-\mathbf {proj} _{v_{2}}(v_{1}).}$

Див. також

• Відстань від точки до прямої
• Проєкція вектора
• Скалярний добуток
• Векторний добуток

Джерела

• Погорєлов О. В. Геометрія : Стереометрія : Підруч. для 10—11 кл. серед. шк. — 6-те вид. — Київ : Освіта, 2001. — 128 с.