Аксіома об'єднання

Аксіомою об’єднання називають таке висловлення теорії множин:

${\displaystyle ~\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )}$

Аксіому об’єднання можна сформулювати таким чином: «З будь-якого сімейства ${\displaystyle ~a}$ множин ${\displaystyle ~b}$ можна утворити як мінімум одну таку множину ${\displaystyle ~d}$, кожен елемент ${\displaystyle ~c}$ якої належить хоча б одній множині ${\displaystyle ~b}$ даного сімейства ${\displaystyle ~a}$.»

Інші формулювання аксіоми об’єднання

${\displaystyle ~\forall a\exists d\ (d=\{c:\ \exists b\ (b\in a\land c\in b)\})}$

${\displaystyle ~\forall a\exists d\forall c\ (c\notin d\leftrightarrow \forall b\ (b\in a\to c\notin b))}$

Примітки

0. В аксіомі об’єднання вказаний тип множин (елементи множин сімейства ${\displaystyle ~a}$), які повинні бути елементами множини ${\displaystyle ~d}$, що утворюється. Разом з тим, аксіома об'єднання не містить алгоритм знаходження всіх елементів множини ${\displaystyle ~d}$, що утворюється.

«Хто винуватий?» — відомо. «Що робити?» — невідомо.

1. Про виведення аксіоми об’єднання.

2. Керуючись аксіомою об'ємності можна довести єдиність сукупності ${\displaystyle ~d}$ для кожного сімейства множин ${\displaystyle ~a}$. Інакше кажучи, можна довести, що аксіома об'єднання рівносильна такому висловлюванню

${\displaystyle ~\forall a\exists !d\forall c\ (c\in d\ \leftrightarrow \ \exists b\ (b\in a\land c\in b))}$, що рівносильно ${\displaystyle ~\forall a\exists d\ (d=\{c:\ \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\}\quad \land \quad \neg (\exists d'\ (d'\neq d\ \land \ d'=\{c:\ \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\}))\ )}$

3. Про аналогію з законом зростання ентропії.

4. Інше

${\displaystyle ~a=\{a_{1},a_{2}\}\Rightarrow \exists d\forall c(c\in d\leftrightarrow \exists b(b\in \{a_{1},a_{2}\}\ \land \ c\in b))\Leftrightarrow \exists d\forall c(c\in d\leftrightarrow c\in a_{1}\ \lor \ c\in a_{2})}$

Див. також

• Аксіоматика теорії множин

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)