Адаптований процес

У теорії випадкових процесів адаптований процес — це процес який не може передбачати майбутнє і визначений своєю минулою інформацією. Грубо кажучи X адаптований, якщо для будь-якої реалізації і довільного n, значення X_n відоме в час n. Поняття адаптованого процесу дуже важливе в теорії випадкових процесів, зокрема для визначення інтеграла Іто. Так інтеграл Іто визначений тільки для тих процесів інтеграндів які є адаптованими

Означення

Нехай

• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ — імовірнісний простір;
• ${\displaystyle \displaystyle I}$ множина індексів з заданим на ній відношенням порядку ${\displaystyle \displaystyle \leq }$ (часто, ${\displaystyle \displaystyle I}$ це одна з моножин ${\displaystyle \displaystyle N,N_{0},[0,T]}$ чи ${\displaystyle [0,+\infty )}$);
• ${\displaystyle F_{\bullet }=({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$ — фільтрація задана на сигма-алгебрі ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$;
• ${\displaystyle \displaystyle (S,\Sigma )}$ — вимірний простір, множина станів;
• ${\displaystyle \displaystyle X:I\times \Omega \to S}$ — стохастичний процес.

Тоді процес ${\displaystyle \displaystyle X}$ називається адаптованим до (по відношенню до) фільтрації ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$, якщо випадкова величина ${\displaystyle \displaystyle X_{i}:\Omega \to S}$ є ${\displaystyle \displaystyle (F_{i},\Sigma )}$ - вимірна функція для всіх ${\displaystyle \displaystyle i\in I}$.

Див. також

• Фільтрація сигма-алгебр