Інтегральна логарифмічна функція

Інтегральний логарифм — спеціальна функція, що визначається для дійсних ${\displaystyle x\neq 1,}$ рівністю:

${\displaystyle {\rm {li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.\;}$ при x > 1 підінтегральна функція має в точці t=1 нескінченний розрив і інтегральний логарифм розуміється в сенсі головного значення:

${\displaystyle {\rm {li}}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\right).\;}$

Інтегральний логарифм

Також для усунення сингулярності в точці 1 іноді визначається зсунутий інтегральний логарифм:

${\displaystyle \mathrm {Li} \,(x)=\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.}$

Між двома функціями справедлива рівність:

${\displaystyle \mathrm {Li} \,(x)-\mathrm {li} \,(x)=\mathrm {li} \,(2)\approx 1{,}045~163~780~117~492\ldots }$

Властивості

• При малих x:

${\displaystyle {\rm {li}}(x)\approx {\frac {x}{\ln(1/x)}}}$

• Інтегральний логарифм пов'язаний з інтегральною показниковою функцією

Ei(x) співвідношеннями:

${\displaystyle {\hbox{li}}(x)={\hbox{Ei}}(\ln x),\,\!}$

• Інтегральний логарифм подається у вигляді ряду

${\displaystyle \mathrm {li} \,(x)=\mathrm {Ei} \,(\ln x)=\gamma +\ln \ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{n}}{n\cdot n!}},}$

де ${\displaystyle \gamma \approx 0{,}577~215~664~901~532\ldots }$ — стала Ейлера;

• Інший ряд, що збігається швидше був виведений Срінівасою Рамануджаном:

${\displaystyle \mathrm {li} \,(x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{2^{n-1}n!}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}.}$

• Інтегральний логарифм має єдиний нуль в точці ${\displaystyle \mu \approx 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots }$ — стала Рамануджана — Солднера

Комплексна змінна

Див. також: Комплексний логарифм

Як функція комплексної змінної z інтегральний логарифм можна визначити:

${\displaystyle \mathrm {li} \,(x)=\mathrm {Ei} \,(\ln x)=\gamma +\ln(-\ln z)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\ln z)^{n}}{n\cdot n!}},}$

Інтегральний логарифм тоді буде однозначною аналітичною функцією в комплексній площині z з розрізами уздовж дійсної осі від -${\displaystyle \infty }$ до 0 і від 1 до ${\displaystyle \infty }$ (уявні частини логарифмів беруться при цьому в межах від -${\displaystyle \pi }$ до ${\displaystyle \pi }$).

Застосування в теорії чисел

Інтегральний логарифм відіграє важливу роль у теорії чисел. Зокрема, згідно з теоремою про розподіл простих чисел:

${\displaystyle \pi (x)\sim {\hbox{li}}(x)\sim {\hbox{Li}}(x),\,}$ де ${\displaystyle \pi (x)}$ — кількість простих чисел менших або рівних x.

Див. також

• Інтегральна показникова функція
• Інтегральний косинус
• Теорема про розподіл простих чисел

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.