Ін'єктивна оболонка

Ін'єктивна оболонка — побудова в метричній геометрії, яка дає найменший ін'єктивний метричний простір, що включає даний метричний простір. Ця побудова багато в чому аналогічна побудові опуклої оболонки множини в евклідовому просторі.

Ін'єктивна оболонка множини точок на площині з мангеттенською метрикою.

Ін'єктивну оболонку вперше описав ^[en] 1964 року. Пізніше її кілька разів перевідкрито.

Побудова

На даному метричному просторі ${\displaystyle M}$ розглядають усі функції ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ такі, що

${\displaystyle f(x)+f(y)\geqslant |x-y|_{M}\geqslant |f(x)-f(y)|}$ для будь-яких ${\displaystyle x,y\in M}$,

для будь-якого ${\displaystyle x\in M}$ існує ${\displaystyle y\in M}$ таке, що ${\displaystyle f(x)+f(y)-|x-y|_{M}}$ довільно мале.

Далі множину цих функцій забезпечують метрикою

${\displaystyle |f-h|=\sup _{x\in M}|f(x)-h(x)|_{M}.}$

Отриманий метричний простір ${\displaystyle W}$ називають ін'єктивною оболонкою ${\displaystyle M}$.

Зауваження

• Простір ${\displaystyle M}$ можна розглядати як підпростір ${\displaystyle W}$; необхідне відображення ${\displaystyle M\to W}$ отримують зіставленням кожній точці ${\displaystyle x\in M}$ її дистанційної функції ${\displaystyle z\mapsto |x-z|_{M}}$.

Властивості

• Ін'єктивна оболонка є ін'єктивним простором.
• Ін'єктивна оболонка компактного простору компактна.
  • Зокрема, будь-який компактний простір є підпростором компактного простору зі внутрішньою метрикою.
• Нехай ${\displaystyle {\hat {X}}}$ і ${\displaystyle {\hat {Y}}}$ — Ін'єктивні оболонки компактних метричних просторів ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$. Тоді

  ${\displaystyle d_{GH}({\hat {X}},{\hat {Y}})\leq 2\cdot d_{GH}(X,Y),}$

де ${\displaystyle d_{GH}}$ позначає метрику Громова — Гаусдорфа.

• Стала 2 в цій нерівності є оптимальною.

Примітки

1. Isbell, J. R. Six theorems about injective metric spaces // ^[en] : journal. — 1964. — Vol. 39 (6 July). — P. 65—76. — DOI:10.1007/BF02566944.
2. Dress, Andreas W. M. (1984), Trees, tight extensions of metric spaces, and the cohomological dimension of certain groups, Advances in Mathematics, 53 (3): 321—402, doi:10.1016/0001-8708(84)90029-X
3. Chrobak, Marek; (1994), Generosity helps or an 11-competitive algorithm for three servers, Journal of Algorithms, 16 (2): 234—263, doi:10.1006/jagm.1994.1011.
4. Lang, Urs; Pavón, Maël; Züst, Roger. Metric stability of trees and tight spans // Arch. Math. (Basel). — 2013. — Vol. 101, no. 1 (6 July). — P. 91–100.