У цій статті відсутній , що має містити найважливіших аспектів статті. (вересень 2022) |
Цю статтю треба для відповідності Вікіпедії. (грудень 2012) |
Вступ
Якщо в параметричних постановках на дані накладаються занадто жорсткі вимоги — їх функції розподілу повинні належати визначеному параметричному сімейству, то в непараметричних, навпаки, зайво слабкі — потрібно лише, щоб функції розподілу були неперервними. При цьому ігнорується апріорна інформація про те, який є «приблизний вигляд» розподілу. Апріорі можна чекати, що обчислення цього «приблизного вигляду» поліпшить показники якості статистичних процедур. Розвитком цієї ідеї є теорія стійкості (робастності) статистичних процедур, у якій передбачається, що розподіл вихідних даних мало відрізняється від деякого параметричного сімейства. З 1960-х років цю теорію розробляли П.Хубер, Ф.Хампель та інші. З монографій російською мовою, що трактують про робастності і стійкість статистичних процедур, найранішою і найзагальнішою була книга, що випливає — монографія. Окремими випадками реалізації ідеї робастності (стійкості) статистичних процедур є розглянуті нижче статистика об'єктів нечислової природи та інтервальна статистика.
Існує велика розмаїтість моделей робастності залежно від того, які саме відхилення від заданого параметричного сімейства допускаються. Найпопулярнішою виявилася модель викидів, у якій вихідна вибірка «засмічується» малим числом «викидів», що мають принципово інший розподіл. Однак ця модель представляється «тупиковою», оскільки в більшості випадків великі викиди або неможливі через обмеженість шкали приладу, або від них можна позбутися, застосовуючи лише статистики, побудовані по центральній частині варіаційного ряду. Крім того, у подібних моделях звичайно вважається відомою частота засмічення, що разом зі сказаним вище робить їх малопридатними для практичного використання. Перспективнішою представляється модель Ю. Н. Благовіщенського, у якій відстань між розподілом кожного елемента вибірки і базовим розподілом не перевершує заданої малої величини.
Робастність у статистиці надає підходи, спрямовані на зниження впливу викидів і інших відхилень у досліджуваній величині щодо моделей класичних методів статистики. На практиці наявність у вибірках навіть невеликого числа різких викидів може призвести до того, що результати можуть перестати нести в собі який-небудь зміст. Для уникннення цього необхідно якимось чином знизити вплив «поганих» спостережень, або зовсім вилучити їх. Однак виникає питання: «Як відрізнити „погане“ спостереження від „доброго“?». Навіть найпростіший з підходів — суб'єктивний (заснований на внутрішніх відчуттях статистика) — може принести значну користь, однак для відбраковування все-таки краще застосовувати методи, що мають строге математичне обґрунтування, а не тільки інтуїтивні припущення дослідника. Цей процес являє собою дуже нетривіальну задачу для статистика і визначає собою один з напрямків статистичної науки.
Поняття робастності
Під робастністю в статистиці розуміють нечутливість до різних відхилень і неоднорідностям у вибірці, зв'язаним з тими чи тими, у загальному випадку невідомими, причинами. Це можуть бути помилки детектора, що реєструє спостереження, чиїсь сумлінні чи не дуже спроби «підігнати» вибірку до того, як вона потрапить до статистики, помилки оформлення, неочікувані помилки та багато чого іншого. Наприклад, найбільш робастною оцінкою параметра зрушення закону розподілу є медіана, що на інтуїтивному рівні цілком очевидно (для строгого доказу варто скористатися тим, що медіана є усіченою М-оцінкою). Крім безпосередньо «бракованих» спостережень також може бути певна кількість спостережень, що мають інший розподіл. Через умовність законів розподілів, а це не більш, ніж моделі опису, сама по собі вибірка може містити деякі розбіжності з ідеалом.
Проте, параметричний підхід настільки вжився, довівши свою простоту і доцільність, що безглуздо від нього відмовлятися. Тому і виникла необхідність пристосувати старі моделі до нових завдань.
Варто окремо підкреслити і не забувати, що відбраковані спостереження потребують окремої, більш пильної, уваги. Спостереження, що здаються «поганими» для однієї гіпотези, можуть цілком відповідати інший. Нарешті, аж ніяк не завжди спостереження, що різко виділяються, є «браком». Одне таке спостереження для генної інженерії, приміром, варте мільйонів інших, подібних один до одного.
Основні підходи
Для того, щоб обмежити вплив неоднорідностей, або ж зовсім його вилучити, є безліч різних підходів. Серед них виділяються два основних напрями:
- Згрупувати дані, не відбраковуючи окремі спостереження, у такий спосіб значно знизивши можливість псування вибірки окремими випадами. Після чого з достатнім ступенем упевненості користатися класичними методами статистики.
- Відслідковувати викиди безпосередньо в процесі аналізу. Наприклад, для визначення параметрів закону розподілу використовувати ітераційну процедуру з усіченими чи th- зниженими M-оцінками.
Групування даних як метод робастної статистики
За допомогою групування вибірки можна різко знизити вплив окремих спостережень, не відкидаючи їх. Розбивка на інтервали не представляє особливих труднощів і дає дуже відчутний результат. Є три найпоширеніших способи розбивки:
- Розбивка на інтервали рівної довжини. Найбільш простий і тому розповсюджений спосіб.
- Розбивка на інтервали рівної імовірності, також називане рівночастотним групуванням, що відбиває практичну реалізацію цього методу. У результаті такого групування вибірки здійснюється максимізація величини інформаційної ентропії , де і досягається найбільша асимптотична потужність критерію згоди , або критерію відношення правдоподібності.
- Розбивка на асимптотично оптимальні інтервали. При такій розбивці мінімізуються втрати інформації внаслідок групування, тобто максимізується фішеровська інформація , де — оцінюваний параметр закону. Для багатьох законів розподілу вдалося одержати інваріантні щодо параметрів межі інтервалів, і були складені відповідні таблиці. Така розбивка дає змогу максимізувати потужність критерію.
Підхід, заснований на функції впливу
Уведення
У даному розділі розглядаються аспекти, що стосуються оцінювання параметрів закону розподілу по «засміченій» вибірці з використанням підходу, запропонованого Хампелем. Для того, щоб вивчити вплив окремо узятого спостереження на оцінку (розглянуту статистику) того чи іншого параметра закону розподілу Хампелем уводиться так називана функція впливу (influence function), що являє собою ні що інше, як похідну цієї статистики.
Основні поняття
Уведемо функціонал , як функцію від деякої вибірки з розподілу c параметром (воно ж ). залежить від . Значить є функцією від закону і від параметра . Нехай також задовольняє деяким умовам заможності і регулярності:
Визначимо похідну цього функціонала у точці з розподілом у такий спосіб:
де — деяка функція, зміст якої проясниться на наступному кроці, а — деякий закон розподілу, відмінний від .
Підставимо , що приписує одиничну масу події , замість , у результаті чого від інтеграла в правій частині виразу залишиться тільки , і перепишемо результат, що вийшов, у наступному вигляді:
Цю функцію і називають функцією впливу.
Щоб пояснити зміст уведеного поняття підставимо замість , замінивши межу. У результаті вираження перетвориться в , що відповідає ситуації, коли у вибірку, що складається з спостереження, що підкоряються розподілу , додають ще одне нове. У такий спосіб відслідковує реакцію використовуваного функціонала на внесене додавання, показуючи вплив від внеску окремого спостереження на оцінку по всій сукупності даних.
Для характеристики впливу окремих спостережень також уводять поняття чутливості до великої помилки :
Якщо функція впливу обмежена, то відповідну оцінку називають B(бэ)-робастною.
М-оцінки
Найбільш ефективними і широко використовуваними оцінками параметрів законів розподілів є оцінки максимальної правдоподібності (ОМП), що визначаються однією з наступних умов:
де у випадку негрупованої вибірки , а у випадку групованої —
М-оцінки — є деяке узагальнення ОМП. Вони визначаються аналогічно одним зі співвідношень:
Якщо накласти умову регулярності в підстановці і продиференціювать його по у 0:
::
те не представляє великої праці одержати вираження функції впливу для M-оцінок:
Зазначений вираз дозволяє зробити висновок про те, що M-оцінки еквівалентні з точністю до ненульового множника-константи.
Нескладно перевірити, що для ОМП стандартного нормального закону розподілу функції впливу параметра зрушення і параметра масштабу виглядають відповідно:
Ці функції необмежені, а це значить, що ОМП не є робастной у термінах B-робастности.
Для того, щоб це виправити, M-оцінки штучно обмежують, а значить і обмежують її (див. вираження для M-оцінок), установлюючи верхній бар'єр на вплив різко виділяються (далеко віддалених від передбачуваних значень параметрів) спостережень. Робиться це введенням так званих усічених M-оцінок, обумовлених вираженням:
де , і — оцінки параметрів зрушення і масштабу відповідно.
Серед усічених M-оцінок оптимальними з погляду B-робастности є усічені ОМП.
Процедура оцінювання параметрів
Щоб розв’язати рівняння необхідно скористатися яким-небудь чисельним методом. Для цього знадобиться вибрати початкові наближення. Нульовим параметром зрушення звичайно служить медіана, параметром масштабу — значення, кратне медіані відхилень від медіани.
Наприклад, якщо необхідно оцінити параметр зрушення, скажемо, нормального закону розподілу, можна скористатися методом Ньютона чисельного перебування коренів рівняння. У результаті вся процедура перебування параметра зводиться до ітеративного обчислення вираження:
- ,
де — деяка оцінка параметра масштабу, що потрібна для того, щоб зрівняти розподілу з різним розмахом.
Див. також
- Публікації з робастних методів оцінювання параметрів і перевірки статистичних гіпотез на сайті професора НГТУ Лемешко Б. Ю.
Джерела
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U cij statti vidsutnij vstupnij rozdil sho maye mistiti viznachennya predmeta i stislij oglyad najvazhlivishih aspektiv statti Vi mozhete dopomogti proyektu napisavshi preambulu veresen 2022 Cyu stattyu treba vikifikuvati dlya vidpovidnosti standartam yakosti Vikipediyi Bud laska dopomozhit dodavannyam dorechnih vnutrishnih posilan abo vdoskonalennyam rozmitki statti gruden 2012 VstupYaksho v parametrichnih postanovkah na dani nakladayutsya zanadto zhorstki vimogi yih funkciyi rozpodilu povinni nalezhati viznachenomu parametrichnomu simejstvu to v neparametrichnih navpaki zajvo slabki potribno lishe shob funkciyi rozpodilu buli neperervnimi Pri comu ignoruyetsya apriorna informaciya pro te yakij ye pribliznij viglyad rozpodilu Apriori mozhna chekati sho obchislennya cogo pribliznogo viglyadu polipshit pokazniki yakosti statistichnih procedur Rozvitkom ciyeyi ideyi ye teoriya stijkosti robastnosti statistichnih procedur u yakij peredbachayetsya sho rozpodil vihidnih danih malo vidriznyayetsya vid deyakogo parametrichnogo simejstva Z 1960 h rokiv cyu teoriyu rozroblyali P Huber F Hampel ta inshi Z monografij rosijskoyu movoyu sho traktuyut pro robastnosti i stijkist statistichnih procedur najranishoyu i najzagalnishoyu bula kniga sho viplivaye monografiya Okremimi vipadkami realizaciyi ideyi robastnosti stijkosti statistichnih procedur ye rozglyanuti nizhche statistika ob yektiv nechislovoyi prirodi ta intervalna statistika Isnuye velika rozmayitist modelej robastnosti zalezhno vid togo yaki same vidhilennya vid zadanogo parametrichnogo simejstva dopuskayutsya Najpopulyarnishoyu viyavilasya model vikidiv u yakij vihidna vibirka zasmichuyetsya malim chislom vikidiv sho mayut principovo inshij rozpodil Odnak cya model predstavlyayetsya tupikovoyu oskilki v bilshosti vipadkiv veliki vikidi abo nemozhlivi cherez obmezhenist shkali priladu abo vid nih mozhna pozbutisya zastosovuyuchi lishe statistiki pobudovani po centralnij chastini variacijnogo ryadu Krim togo u podibnih modelyah zvichajno vvazhayetsya vidomoyu chastota zasmichennya sho razom zi skazanim vishe robit yih malopridatnimi dlya praktichnogo vikoristannya Perspektivnishoyu predstavlyayetsya model Yu N Blagovishenskogo u yakij vidstan mizh rozpodilom kozhnogo elementa vibirki i bazovim rozpodilom ne perevershuye zadanoyi maloyi velichini Robastnist u statistici nadaye pidhodi spryamovani na znizhennya vplivu vikidiv i inshih vidhilen u doslidzhuvanij velichini shodo modelej klasichnih metodiv statistiki Na praktici nayavnist u vibirkah navit nevelikogo chisla rizkih vikidiv mozhe prizvesti do togo sho rezultati mozhut perestati nesti v sobi yakij nebud zmist Dlya uniknnennya cogo neobhidno yakimos chinom zniziti vpliv poganih sposterezhen abo zovsim viluchiti yih Odnak vinikaye pitannya Yak vidrizniti pogane sposterezhennya vid dobrogo Navit najprostishij z pidhodiv sub yektivnij zasnovanij na vnutrishnih vidchuttyah statistika mozhe prinesti znachnu korist odnak dlya vidbrakovuvannya vse taki krashe zastosovuvati metodi sho mayut stroge matematichne obgruntuvannya a ne tilki intuyitivni pripushennya doslidnika Cej proces yavlyaye soboyu duzhe netrivialnu zadachu dlya statistika i viznachaye soboyu odin z napryamkiv statistichnoyi nauki Ponyattya robastnostiPid robastnistyu v statistici rozumiyut nechutlivist do riznih vidhilen i neodnoridnostyam u vibirci zv yazanim z timi chi timi u zagalnomu vipadku nevidomimi prichinami Ce mozhut buti pomilki detektora sho reyestruye sposterezhennya chiyis sumlinni chi ne duzhe sprobi pidignati vibirku do togo yak vona potrapit do statistiki pomilki oformlennya neochikuvani pomilki ta bagato chogo inshogo Napriklad najbilsh robastnoyu ocinkoyu parametra zrushennya zakonu rozpodilu ye mediana sho na intuyitivnomu rivni cilkom ochevidno dlya strogogo dokazu varto skoristatisya tim sho mediana ye usichenoyu M ocinkoyu Krim bezposeredno brakovanih sposterezhen takozh mozhe buti pevna kilkist sposterezhen sho mayut inshij rozpodil Cherez umovnist zakoniv rozpodiliv a ce ne bilsh nizh modeli opisu sama po sobi vibirka mozhe mistiti deyaki rozbizhnosti z idealom Prote parametrichnij pidhid nastilki vzhivsya dovivshi svoyu prostotu i docilnist sho bezgluzdo vid nogo vidmovlyatisya Tomu i vinikla neobhidnist pristosuvati stari modeli do novih zavdan Varto okremo pidkresliti i ne zabuvati sho vidbrakovani sposterezhennya potrebuyut okremoyi bilsh pilnoyi uvagi Sposterezhennya sho zdayutsya poganimi dlya odniyeyi gipotezi mozhut cilkom vidpovidati inshij Nareshti azh niyak ne zavzhdi sposterezhennya sho rizko vidilyayutsya ye brakom Odne take sposterezhennya dlya gennoyi inzheneriyi primirom varte miljoniv inshih podibnih odin do odnogo Osnovni pidhodiDlya togo shob obmezhiti vpliv neodnoridnostej abo zh zovsim jogo viluchiti ye bezlich riznih pidhodiv Sered nih vidilyayutsya dva osnovnih napryami Zgrupuvati dani ne vidbrakovuyuchi okremi sposterezhennya u takij sposib znachno znizivshi mozhlivist psuvannya vibirki okremimi vipadami Pislya chogo z dostatnim stupenem upevnenosti koristatisya klasichnimi metodami statistiki Vidslidkovuvati vikidi bezposeredno v procesi analizu Napriklad dlya viznachennya parametriv zakonu rozpodilu vikoristovuvati iteracijnu proceduru z usichenimi chi th znizhenimi M ocinkami Grupuvannya danih yak metod robastnoyi statistikiZa dopomogoyu grupuvannya vibirki mozhna rizko zniziti vpliv okremih sposterezhen ne vidkidayuchi yih Rozbivka na intervali ne predstavlyaye osoblivih trudnoshiv i daye duzhe vidchutnij rezultat Ye tri najposhirenishih sposobi rozbivki Rozbivka na intervali rivnoyi dovzhini Najbilsh prostij i tomu rozpovsyudzhenij sposib Rozbivka na intervali rivnoyi imovirnosti takozh nazivane rivnochastotnim grupuvannyam sho vidbivaye praktichnu realizaciyu cogo metodu U rezultati takogo grupuvannya vibirki zdijsnyuyetsya maksimizaciya velichini informacijnoyi entropiyi P i ln P i displaystyle sum P i ln P i de P i x i 1 x i f x d x displaystyle P i int limits x i 1 x i f x mathrm d x i dosyagayetsya najbilsha asimptotichna potuzhnist kriteriyu zgodi x 2 displaystyle chi 2 abo kriteriyu vidnoshennya pravdopodibnosti Rozbivka na asimptotichno optimalni intervali Pri takij rozbivci minimizuyutsya vtrati informaciyi vnaslidok grupuvannya tobto maksimizuyetsya fisherovska informaciya ln P i 8 2 P i displaystyle sum left frac partial ln P i partial theta right 2 P i de 8 displaystyle theta ocinyuvanij parametr zakonu Dlya bagatoh zakoniv rozpodilu vdalosya oderzhati invariantni shodo parametriv mezhi intervaliv i buli skladeni vidpovidni tablici Taka rozbivka daye zmogu maksimizuvati potuzhnist kriteriyu Pidhid zasnovanij na funkciyi vplivuUvedennya U danomu rozdili rozglyadayutsya aspekti sho stosuyutsya ocinyuvannya parametriv zakonu rozpodilu po zasmichenij vibirci z vikoristannyam pidhodu zaproponovanogo Hampelem Dlya togo shob vivchiti vpliv okremo uzyatogo sposterezhennya na ocinku rozglyanutu statistiku togo chi inshogo parametra zakonu rozpodilu Hampelem uvoditsya tak nazivana funkciya vplivu influence function sho yavlyaye soboyu ni sho inshe yak pohidnu ciyeyi statistiki Osnovni ponyattya Uvedemo funkcional T displaystyle T yak funkciyu vid deyakoyi vibirki X X 1 X n X displaystyle X X 1 ldots X n in mathbb X z rozpodilu F displaystyle F c parametrom 8 8 displaystyle theta in Theta vono zh F 8 displaystyle F theta T displaystyle T zalezhit vid X F 8 displaystyle X F theta Znachit T displaystyle T ye funkciyeyu vid zakonu F displaystyle F i vid parametra 8 displaystyle theta Nehaj T displaystyle T takozh zadovolnyaye deyakim umovam zamozhnosti i regulyarnosti T F 8 T d F 0 displaystyle T F theta quad int T mathrm d F 0 dd Viznachimo pohidnu cogo funkcionala T displaystyle T u tochci z rozpodilom F displaystyle F u takij sposib a lim t 0 T 1 t F t G T F t a d G displaystyle exists a quad lim t to 0 frac T 1 t F tG T F t int a mathrm d G de a displaystyle a deyaka funkciya zmist yakoyi proyasnitsya na nastupnomu kroci a G displaystyle G deyakij zakon rozpodilu vidminnij vid F displaystyle F Pidstavimo D x displaystyle Delta x sho pripisuye odinichnu masu podiyi X x displaystyle X x zamist G displaystyle G u rezultati chogo vid integrala v pravij chastini virazu zalishitsya tilki a x displaystyle a x i perepishemo rezultat sho vijshov u nastupnomu viglyadi I F lim t 0 T 1 t F t D x T F t displaystyle IF lim t to 0 frac T 1 t F t Delta x T F t Cyu funkciyu i nazivayut funkciyeyu vplivu Shob poyasniti zmist uvedenogo ponyattya pidstavimo 1 n displaystyle frac 1 n zamist t displaystyle t zaminivshi mezhu U rezultati virazhennya F t x 1 t F t D x displaystyle F t x 1 t F t Delta x peretvoritsya v F 1 n x n 1 F D x n displaystyle F frac 1 n x frac n 1 F Delta x n sho vidpovidaye situaciyi koli u vibirku sho skladayetsya z n 1 displaystyle n 1 sposterezhennya sho pidkoryayutsya rozpodilu F displaystyle F dodayut she odne nove U takij sposib I F displaystyle IF vidslidkovuye reakciyu vikoristovuvanogo funkcionala T displaystyle T na vnesene dodavannya pokazuyuchi vpliv vid vnesku okremogo sposterezhennya x displaystyle x na ocinku po vsij sukupnosti danih Dlya harakteristiki vplivu okremih sposterezhen takozh uvodyat ponyattya chutlivosti do velikoyi pomilki g displaystyle gamma g sup x X I F x displaystyle gamma sup x in mathbb X IF x Yaksho funkciya vplivu obmezhena to vidpovidnu ocinku nazivayut B be robastnoyu M ocinki Najbilsh efektivnimi i shiroko vikoristovuvanimi ocinkami parametriv zakoniv rozpodiliv ye ocinki maksimalnoyi pravdopodibnosti OMP sho viznachayutsya odniyeyu z nastupnih umov i ln P i max 8 8 i ln P i 8 0 i P i P i 0 displaystyle sum i ln P i to max theta in Theta qquad sum i frac partial ln P i partial theta 0 qquad sum i frac P i P i 0 dd de u vipadku negrupovanoyi vibirki P i f x i 8 displaystyle P i f x i theta a u vipadku grupovanoyi P i x i 1 x i f x 8 d x n i displaystyle P i left int limits x i 1 x i f x theta mathrm d x right n i M ocinki ye deyake uzagalnennya OMP Voni viznachayutsya analogichno odnim zi spivvidnoshen i 1 N r x i 8 max 8 8 i 1 N ϕ x i 8 0 displaystyle sum i 1 N rho x i theta to max theta in Theta qquad sum i 1 N phi x i theta 0 Yaksho naklasti umovu regulyarnosti v pidstanovci F t x 1 t F t D x displaystyle F t x 1 t F t Delta x i prodiferenciyuvat jogo po t displaystyle t u 0 0 t ϕ x T F t x d F t x displaystyle 0 frac partial partial t int phi x T F t x mathrm d F t x dd 0 ϕ x T F t x 8 I F d F t x ϕ x T F t x d 1 t F t D x t displaystyle 0 int frac partial phi x T F t x partial theta IF mathrm d F t x int phi x T F t x mathrm d frac partial 1 t F t Delta x partial t dd 0 I F ϕ x T F t x 8 d F t x ϕ x T F t x displaystyle 0 IF int frac partial phi x T F t x partial theta mathrm d F t x phi x T F t x te ne predstavlyaye velikoyi praci oderzhati virazhennya funkciyi vplivu dlya M ocinok I F ϕ x ϕ 8 x d F displaystyle IF frac phi x int phi theta x mathrm d F Zaznachenij viraz dozvolyaye zrobiti visnovok pro te sho M ocinki ekvivalentni z tochnistyu do nenulovogo mnozhnika konstanti Neskladno pereviriti sho dlya OMP standartnogo normalnogo zakonu rozpodilu N 0 1 displaystyle mathcal N 0 1 funkciyi vplivu I F displaystyle IF parametra zrushennya i parametra masshtabu viglyadayut vidpovidno I F x I F 1 2 x 2 1 2 displaystyle IF x quad IF frac 1 2 x 2 frac 1 2 dd Ci funkciyi neobmezheni a ce znachit sho OMP ne ye robastnoj u terminah B robastnosti Dlya togo shob ce vipraviti M ocinki shtuchno obmezhuyut a znachit i obmezhuyut yiyi I F displaystyle IF div virazhennya I F displaystyle IF dlya M ocinok ustanovlyuyuchi verhnij bar yer na vpliv rizko vidilyayutsya daleko viddalenih vid peredbachuvanih znachen parametriv sposterezhen Robitsya ce vvedennyam tak zvanih usichenih M ocinok obumovlenih virazhennyam ϕ b z ϕ b b lt z ϕ z b lt z b ϕ b z b displaystyle phi b z left begin array lr phi b amp b lt z phi z amp b lt z leqslant b phi b amp z leqslant b end array right de z x 8 S displaystyle z frac x theta S 8 displaystyle theta i S displaystyle S ocinki parametriv zrushennya i masshtabu vidpovidno Sered usichenih M ocinok optimalnimi z poglyadu B robastnosti ye usicheni OMP Procedura ocinyuvannya parametriv Shob rozv yazati rivnyannya i 1 N ϕ x i 8 0 displaystyle sum i 1 N phi x i theta 0 neobhidno skoristatisya yakim nebud chiselnim metodom Dlya cogo znadobitsya vibrati pochatkovi nablizhennya Nulovim parametrom zrushennya zvichajno sluzhit mediana parametrom masshtabu znachennya kratne mediani vidhilen vid mediani Napriklad yaksho neobhidno ociniti parametr zrushennya skazhemo normalnogo zakonu rozpodilu mozhna skoristatisya metodom Nyutona chiselnogo perebuvannya koreniv rivnyannya U rezultati vsya procedura perebuvannya parametra zvoditsya do iterativnogo obchislennya virazhennya 8 k 1 8 k i 1 N ϕ x i 8 k i 1 N ϕ 8 x i 8 k 8 k i 1 N ϕ x i 8 k S i 1 N ϕ 8 x i 8 k S 8 k S i 1 N ϕ z i 1 N ϕ z z displaystyle theta k 1 theta k frac sum i 1 N phi x i theta k sum i 1 N phi theta x i theta k theta k frac sum i 1 N phi left x i theta k S right sum i 1 N phi theta left x i theta k S right theta k S frac sum i 1 N phi left z right sum i 1 N phi z left z right dd de S displaystyle S deyaka ocinka parametra masshtabu sho potribna dlya togo shob zrivnyati rozpodilu z riznim rozmahom Div takozhPublikaciyi z robastnih metodiv ocinyuvannya parametriv i perevirki statistichnih gipotez na sajti profesora NGTU Lemeshko B Yu DzherelaKartashov M V Imovirnist procesi statistika Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2007 504 s Gnedenko B V Kurs teorii veroyatnostej 6 e izd Moskva Nauka 1988 446 s ros Gihman I I Skorohod A V Yadrenko M V Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika Kiyiv Visha shkola 1988 436 s ros