Рівняння Больцмана або кінетичне рівняння Больцмана — рівняння, що описує еволюцію розподілу частинок нерівноважної термодинамічної системи в просторі координат та за швидкостями.
Людвіг Больцман запропонував це рівняння для опису нерівноважних газів, але воно стало широко вживатися й для електронного газу твердих тіл, оскільки дозволяє легко врахувати особливості квантової статистики Фермі — Дірака. Для просторово неоднорідної системи рівняння Больцмана дозволяє розраховувати процеси дифузії частинок. Для системи у зовнішніх полях рівняння Больцмана дозволяє визначити баланс між прискоренням частинок полями й дисипацією їхньої енергії під час зіткнень.
Формулювання
Для опису нерівноважної термодинамічної системи вводиться залежна від часу t, просторових координат й швидкості частинок
функція розподілу
, яка задає ймовірність того, що частинка в момент часу t матиме перебуватиме в кубі з вершиною в точці
і стороною
, а її швидкість буде в діапазоні від
до
. Для цієї функції справедливе рівняння:
,
де m — маса частинок, — сума зовнішніх сил, які діють на ці частинки.
Зміна функції розподілу, тобто ймовірності того, що частинка перебуватиме в околі певної точки й матиме певну швидкість, відбувається:
- завдяки вильоту частинки із об'єму;
- завдяки прискоренню чи сповільненню, викликаному дією зовнішніх сил;
- завдяки зіткненню із іншими частинками.
Член в правій частині рівняння Больцмана описує зміну функції розподілу при зіткненнях і називається . При цьому детальна механіка розсіювання частинок не розглядається. Вважається, що при розсіюванні частинки миттєво міняють свої швидкості.
Рівняння Больцмана справедливе для полів, які не дуже швидко міняються в просторі. Вважається, що кожен елементрарний об'ємчик досить великий, щоб для нього можна було ввести функцію розподілу, але малий в порівнянні із характерною довжиною зміни зовнішніх полів.
Рівняння Больцмана нехтує узгодженим рухом частинок. Його справедливість обмежена газами, в яких зіткнення відбуваються не дуже часто. В випадку більших густин частинок застосовуються складніші рівняння, наприклад рівняння ББГКІ.
Інтеграл зіткнень
Зіткнення між частинками призводить до зміни їхніх швидкостей. Якщо задає імовірність розсіювання частинки із стану зі швидкістю
у стан зі швидкістю
, то інтеграл зіткнень для класичних частинок записується у вигляді:
.
У випадку квантового характеру статистики частинок цей вираз ускладнюється неможливістю двох частинок перебувати в стані з однаковими квантовими числами, а тому потрібно враховувати неможливість розсіювання в зайняті стани.
Детальніші відомості з цієї теми ви можете знайти в статті .
.
Наближення часу релаксації (τ-наближення)
Рівняння Больцмана — складне в часткових похідних. Окрім того, інтеграл зіткнень залежить від конкретної системи, від типу взаємодії між частинками та інших факторів. Знаходження загальних характеристик нерівноважних процесів — непроста справа.
Однак, відомо, що в стані термодинамічної рівноваги інтеграл зіткнень дорівнює нулю. Справді, в стані рівноваги в однорідній системі при відсутності зовнішніх полів усі похідні в лівій частині рівняння Больцмана дорівнюють нулю, тож інтеграл зіткнень теж повинен дорівнювати нулю.
При малих відхиленнях від рівноваги функцію розподілу можна подати у вигляді
,
де — рівноважна функція розподілу, що залежить лише від швидкостей частинок і відома з термодинаміки, а
— невелике відхилення.
В цьому випадку можна розкласти інтеграл зіткнень у ряд Тейлора відносно функції , і записати його у вигляді:
,
де τ — час релаксації. Таке наближення називається наближенням часу релаксації (або τ-наближенням).
Час релаксації, який входить у рівняння Больцмана залежить від швидкості частинок, а отже енергії. Час релаксації можна розрахувати для конкретної системи із конкретним процесами розсіювання частинок.
Рівняння Больцмана в наближенні часу релаксації записується у вигляді
.
Застосування
Рівняння Больцмана застосовують для опису плазми, в теорії твердого тіла тощо, всюди, де вивчаються транспортні явища: електропровідність, термоелектричні явища, дифузія, ефект Хола та ін.
Джерела
- (1978). Введение в теорию полупроводников (російська) . Москва: Наука.
![]() | Це незавершена стаття з фізики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Rivnyannya Bolcmana abo kinetichne rivnyannya Bolcmana rivnyannya sho opisuye evolyuciyu rozpodilu chastinok nerivnovazhnoyi termodinamichnoyi sistemi v prostori koordinat ta za shvidkostyami Lyudvig Bolcman zaproponuvav ce rivnyannya dlya opisu nerivnovazhnih gaziv ale vono stalo shiroko vzhivatisya j dlya elektronnogo gazu tverdih til oskilki dozvolyaye legko vrahuvati osoblivosti kvantovoyi statistiki Fermi Diraka Dlya prostorovo neodnoridnoyi sistemi rivnyannya Bolcmana dozvolyaye rozrahovuvati procesi difuziyi chastinok Dlya sistemi u zovnishnih polyah rivnyannya Bolcmana dozvolyaye viznachiti balans mizh priskorennyam chastinok polyami j disipaciyeyu yihnoyi energiyi pid chas zitknen FormulyuvannyaDlya opisu nerivnovazhnoyi termodinamichnoyi sistemi vvoditsya zalezhna vid chasu t prostorovih koordinat r displaystyle mathbf r j shvidkosti chastinok v displaystyle mathbf v funkciya rozpodilu f t r v displaystyle f t mathbf r mathbf v yaka zadaye jmovirnist togo sho chastinka v moment chasu t matime perebuvatime v kubi z vershinoyu v tochci r displaystyle mathbf r i storonoyu d r displaystyle d mathbf r a yiyi shvidkist bude v diapazoni vid v displaystyle mathbf v do d v displaystyle d mathbf v Dlya ciyeyi funkciyi spravedlive rivnyannya f t v f F m v f J f displaystyle frac partial f partial t mathbf v cdot nabla f frac mathbf F m cdot nabla mathbf v f mathcal J bigl f bigr de m masa chastinok F displaystyle mathbf F suma zovnishnih sil yaki diyut na ci chastinki Zmina funkciyi rozpodilu tobto jmovirnosti togo sho chastinka perebuvatime v okoli pevnoyi tochki j matime pevnu shvidkist vidbuvayetsya zavdyaki vilotu chastinki iz ob yemu zavdyaki priskorennyu chi spovilnennyu viklikanomu diyeyu zovnishnih sil zavdyaki zitknennyu iz inshimi chastinkami Chlen v pravij chastini rivnyannya Bolcmana J f displaystyle mathcal J bigl f bigr opisuye zminu funkciyi rozpodilu pri zitknennyah i nazivayetsya Pri comu detalna mehanika rozsiyuvannya chastinok ne rozglyadayetsya Vvazhayetsya sho pri rozsiyuvanni chastinki mittyevo minyayut svoyi shvidkosti Rivnyannya Bolcmana spravedlive dlya poliv yaki ne duzhe shvidko minyayutsya v prostori Vvazhayetsya sho kozhen elementrarnij ob yemchik dosit velikij shob dlya nogo mozhna bulo vvesti funkciyu rozpodilu ale malij v porivnyanni iz harakternoyu dovzhinoyu zmini zovnishnih poliv Rivnyannya Bolcmana nehtuye uzgodzhenim ruhom chastinok Jogo spravedlivist obmezhena gazami v yakih zitknennya vidbuvayutsya ne duzhe chasto V vipadku bilshih gustin chastinok zastosovuyutsya skladnishi rivnyannya napriklad rivnyannya BBGKI Integral zitknenZitknennya mizh chastinkami prizvodit do zmini yihnih shvidkostej Yaksho W v v d 3 v d t displaystyle W mathbf v mathbf v prime d 3 v prime dt zadaye imovirnist rozsiyuvannya chastinki iz stanu zi shvidkistyu v displaystyle mathbf v u stan zi shvidkistyu v displaystyle mathbf v prime to integral zitknen dlya klasichnih chastinok zapisuyetsya u viglyadi J f v f t r v W v v f t r v W v v d 3 v displaystyle mathcal J bigl f bigr int mathbf v prime f t mathbf r mathbf v prime W mathbf v prime mathbf v f t mathbf r mathbf v W mathbf v mathbf v prime d 3 v prime U vipadku kvantovogo harakteru statistiki chastinok cej viraz uskladnyuyetsya nemozhlivistyu dvoh chastinok perebuvati v stani z odnakovimi kvantovimi chislami a tomu potribno vrahovuvati nemozhlivist rozsiyuvannya v zajnyati stani Detalnishi vidomosti z ciyeyi temi vi mozhete znajti v statti Nablizhennya chasu relaksaciyi t nablizhennya Rivnyannya Bolcmana skladne v chastkovih pohidnih Okrim togo integral zitknen zalezhit vid konkretnoyi sistemi vid tipu vzayemodiyi mizh chastinkami ta inshih faktoriv Znahodzhennya zagalnih harakteristik nerivnovazhnih procesiv neprosta sprava Odnak vidomo sho v stani termodinamichnoyi rivnovagi integral zitknen dorivnyuye nulyu Spravdi v stani rivnovagi v odnoridnij sistemi pri vidsutnosti zovnishnih poliv usi pohidni v livij chastini rivnyannya Bolcmana dorivnyuyut nulyu tozh integral zitknen tezh povinen dorivnyuvati nulyu Pri malih vidhilennyah vid rivnovagi funkciyu rozpodilu mozhna podati u viglyadi f f 0 f 1 displaystyle f f 0 f 1 de f 0 v displaystyle f 0 mathbf v rivnovazhna funkciya rozpodilu sho zalezhit lishe vid shvidkostej chastinok i vidoma z termodinamiki a f 1 displaystyle f 1 nevelike vidhilennya V comu vipadku mozhna rozklasti integral zitknen u ryad Tejlora vidnosno funkciyi f 1 displaystyle f 1 i zapisati jogo u viglyadi f 1 t f f 0 t displaystyle frac f 1 tau frac f f 0 tau de t chas relaksaciyi Take nablizhennya nazivayetsya nablizhennyam chasu relaksaciyi abo t nablizhennyam Chas relaksaciyi yakij vhodit u rivnyannya Bolcmana zalezhit vid shvidkosti chastinok a otzhe energiyi Chas relaksaciyi mozhna rozrahuvati dlya konkretnoyi sistemi iz konkretnim procesami rozsiyuvannya chastinok Rivnyannya Bolcmana v nablizhenni chasu relaksaciyi zapisuyetsya u viglyadi f t v f F m v f f f 0 t displaystyle frac partial f partial t mathbf v cdot nabla f frac mathbf F m cdot nabla mathbf v f frac f f 0 tau ZastosuvannyaRivnyannya Bolcmana zastosovuyut dlya opisu plazmi v teoriyi tverdogo tila tosho vsyudi de vivchayutsya transportni yavisha elektroprovidnist termoelektrichni yavisha difuziya efekt Hola ta in Dzherela 1978 Vvedenie v teoriyu poluprovodnikov rosijska Moskva Nauka Ce nezavershena stattya z fiziki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi