Квантовий ефект Шотткі

Квантовий ефект Шоткі

Класичний ефект Шотткі може мати місце на поверхні розділу ${\displaystyle Si-SiO_{2}}$, де мобільний заряд в діелектриці (${\displaystyle SiO_{2}}$) рівний:

${\displaystyle Q_{ss}^{*}=qN_{ss}^{*}}$,

котрий враховує "металічну" частину (не має значення конкретний фізичний механізм її утворення) та дозволяє виконання механізму відображення для зарядів відносно ${\displaystyle Si-SiO_{2}}$ площини симетрії.

Електрон, котрий знаходиться у "вакуумі" (у цьому випадку це напівпровідник) на деякій відстані ${\displaystyle x}$ від поверхні "металу", індукує на його поверхні позитивний заряд. Сила притягання між електроном та цим індукованим поверхневим зарядом рівна по величині силі притягання до ефективного позитивного заряду ${\displaystyle +q}$, котрий називають зарядом зображення. Ця сила, котра також називається силою зображення, рівна:

${\displaystyle F={\frac {-q^{2}}{4\pi (2x)^{2}\epsilon _{0}\epsilon _{s}}}={\frac {-q^{2}}{16\pi \epsilon _{0}\epsilon _{s}x^{2}}},}$

де ${\displaystyle \epsilon _{0}}$- діелектрична проникність вакууму, ${\displaystyle \epsilon _{s}}$- відносна проникність поверхні напівпровідника. Робота, яку необхідно зробити щоб перемістити електрон із нескінченності в точку ${\displaystyle x}$, рівна:

${\displaystyle A(x)=\int _{\infty }^{x}F\,dx={\frac {q^{2}}{16\pi \epsilon _{0}x}},}$

Якщо до системи прикладено зовнішнє електричне поле ${\displaystyle E}$, то потенційна енергія електрону ${\displaystyle W_{P}}$ буде рівна сумі:

${\displaystyle W_{P}(x)={\frac {q^{2}}{16\pi \epsilon _{0}\epsilon _{s}x}}+qEx}$ еВ.

Зниження бар'єра Шотткі ${\displaystyle \Delta \phi }$ та віддалі ${\displaystyle x_{m}}$, на якій величина потенціалу досягає максимуму, визначається із умови ${\displaystyle {\frac {d[W_{P}(x)]}{dx}}=0}$. Звідки знаходимо:

${\displaystyle x_{m}={\sqrt {\frac {q}{16\pi \epsilon _{0}\epsilon _{s}E}}}}$ см,

${\displaystyle \Delta \phi ={\sqrt {\frac {qE}{4\pi \epsilon _{0}\epsilon _{s}}}}=2Ex_{m}}$ В.

В загальному випадку квантовий ефект Шоткі пов'язаний з проблемою атому Бора, дискретна енергія якого може бути записана у вигляді:

${\displaystyle W_{B0}={\frac {\hbar \;^{2}}{2m(na_{B})^{2}}},n=1,2,...}$

де ${\displaystyle a_{B}}$- Борівський радіус, та з проблемою Ейрі (трикутної потенційної ями), що має енергетичні рівні:

${\displaystyle U_{An}=\eta _{n}{\big (}{\frac {q\hbar \;E_{n}}{\sqrt {2m}}}{\big )}^{2/3}}$

де ${\displaystyle \eta _{n}}$- корені функції Ейрі. Оскільки атомна проблема належить до класу 3Д- проблем (тривимірних), а проблема Ейрі є типова одномірна (1Д-), то їх сумісний розв'язок важко отримати в аналітичній формі. Тому тут можна скористатися квазікласичним наближенням першого порядку щоб розв'язати проблему руху зарядів в 1Д- розмірності біля поверхні розділу ${\displaystyle Si-SiO_{2}}$. Як відомо, квантовий рух вільної частки може бути поданий у вигляді плоскої хвилі:

${\displaystyle \psi (x)\sim \;exp(ikx),}$

де ${\displaystyle k}$ - хвильовий вектор, а кінетична енергія:

${\displaystyle W={\frac {(\hbar \;k)^{2}}{2m}}}$.

У випадку наявності центрів розсіювання хвильовий вектор задовольняє умові:

${\displaystyle k(2x)=1}$, і тому одночастинна кінетична енергія може бути переписана у вигляді:

${\displaystyle W_{II}={\frac {\hbar \;^{2}}{8mx^{2}}}.}$

Розглянемо випадок наявності однієї частки для якої повну енергію можна записати у вигляді:

${\displaystyle W_{II\Sigma }(X)=W_{II}+U_{II}={\frac {\hbar \;^{2}}{8mx^{2}}}+qxE.}$

Диференціюючи останнє рівняння по ${\displaystyle x}$, можна отримати екстремальне значення координати:

${\displaystyle x_{IIm}={\big (}{\frac {\hbar \;^{2}}{4mqE}}{\big )}^{1/3}}$

та для бар'єру Шоткі:

${\displaystyle \Delta \phi ={\frac {W_{II\Sigma }(X)}{q}}={\frac {3}{2q}}({\frac {q\hbar \;E}{2{\sqrt {m}}}})^{2/3}}$

Електричне поле ${\displaystyle E}$ в останньому рівнянні має тільки дискретні значення у квантовому випадку, котрі можна знайти наступним чином. Очевидно, що в задачі Бора використовується взаємодія двох часток. Тому для двох часток в нашому випадку кінетичну енергію необхідно зменшити в 2 рази. Тоді повна енергія може бути переписана у вигляді:

${\displaystyle W_{2I\Sigma }(X)=W_{2I}+U_{2I}={\frac {\hbar \;^{2}}{16mx^{2}}}+qxE.}$.

Диференціюючи це рівняння отримаємо значення координати в точці екстремуму:

${\displaystyle x_{2Im}=0.5{\big (}{\frac {\hbar \;^{2}}{mqE}}{\big )}^{1/3}}$, та кінетичної енергії:

${\displaystyle W_{21}(x_{m})=2^{-5/3}({\frac {\hbar \;qE}{\sqrt {2m}}})^{2/3}}$,

а також потенційної енергії:

${\displaystyle U_{21}(x_{m})=2^{-2/3}({\frac {\hbar \;qE}{\sqrt {2m}}})^{2/3}}$.

Використовуючи умови зшивання

${\displaystyle W_{21}(x_{m})=W_{Bn}}$, та ${\displaystyle U_{21}(x_{m})=U_{A0}}$

можна отримати оцінку для електричного поля:

${\displaystyle E_{0n}=2^{3/2}n^{-3}\eta _{0}^{-3/2}E_{B},}$,

де ${\displaystyle E_{B}={\frac {\hbar \;^{2}}{2mqa_{B}^{3}}}=2,5711\cdot 10^{11}}$ В/м, а ${\displaystyle \eta _{0}=2,33811}$- перший корінь функції Ейрі.

Див. також

• Ефект Шотткі
• Квантовий вихор

Література

• Yakymakha O.L., Kalnibolotskij Y.M., Solid- State Electronics, vol.37, No.10,1994.,pp.1739-1751