Перетворення Чірнхауса

Перетворення Чірнхауса — перетворення многочлена ${\displaystyle P(x)}$ з коренями ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ в многочлен ${\displaystyle Q(x)}$ з коренями ${\displaystyle \varphi (x_{1}),\dots ,\varphi (x_{n})}$, де ${\displaystyle \varphi (x)}$ — також многочлен. Коефіцієнти ${\displaystyle Q}$ можуть бути виражені через коефіцієнти ${\displaystyle P}$ та ${\displaystyle \varphi }$.

Використовується для розв'язання рівнянь 3-го, 4-го степеня і спрощення загального вигляду рівнянь вищих степенів.

Лінійна заміна змінної

Використовуючи формулу бінома Ньютона, алгебричне рівняння

${\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\dots +a_{n}=0,\qquad n>1,}$

заміною ${\displaystyle y=x+{\frac {a_{1}}{n}}}$ можна позбавити від ненульового коефіцієнта при степені ${\displaystyle y^{n-1}}$.

Так розв'язують квадратне рівняння та приводять кубічне рівняння до зведеної форми.

Рівняння степенів n > 2

В 1683 році німецький математик Еренфрід Вальтер фон Чірнхаус показав квадратичне перетворення:

${\displaystyle y_{k}=x_{k}^{2}+\alpha x_{k}^{1}+\beta ,}$

що позволяє звільнити рівняня степеня n > 2 від ненульових коефіцієнтів при ${\displaystyle y^{n-1}}$, ${\displaystyle y^{n-2}}$.

Рівняння степенів n > 4

Існує перетворення Чірнхауса 4-го степеня:

${\displaystyle y_{k}=x_{k}^{4}+\alpha x_{k}^{3}+\beta x_{k}^{2}+\gamma x_{k}+\delta \,}$

що позволяє звільнити рівняня степеня n > 4 від ненульових коефіцієнтів при ${\displaystyle y^{n-1}}$, ${\displaystyle y^{n-2}}$ та ${\displaystyle y^{n-3}}$.

Для n=5 цей результат був отриманий Брінгом в 1786, а для загального випадку Джерардом в 1834.

Після проведення ще однієї додаткової пропорційної заміни змінної, рівняння 5-го, 6-го і степенів зводились до виду:

${\displaystyle x^{5}+ax+1=0}$,

${\displaystyle x^{6}+ax^{2}+bx+1=0,}$

${\displaystyle x^{7}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0}$

від одного, двох і трьох параметрів відповідно.

Про розв'язок рівняння 7-го степеня, який є функцією трьох змінних йдеться в 13-ій проблемі Гільберта.

Узагальнення

Докладніше, нехай ${\displaystyle K}$ – поле, а ${\displaystyle P(t)}$ – многочлен від ${\displaystyle K}$. Якщо ${\displaystyle P}$ є незвідним, то фактор-кільце кільця многочленів ${\displaystyle K[t]}$ на головний ідеал, породжений ${\displaystyle P}$,

${\displaystyle K[t]/(P(t))=L}$,

є розширення поля ${\displaystyle K}$. Ми маємо

${\displaystyle L=K(\alpha )}$

де ${\displaystyle \alpha }$ = ${\displaystyle t}$ modulo ${\displaystyle (P)}$. Тобто будь-який елемент ${\displaystyle L}$ є многочленом від ${\displaystyle \alpha }$, таким чином, є первісним елементом ${\displaystyle L}$. Інші варіанти ${\displaystyle \beta }$ первісного елемента в ${\displaystyle L}$: для будь-якого такого вибору ${\displaystyle \beta }$ ми матимемо за визначенням:

${\displaystyle \beta =F(\alpha ),\alpha =G(\beta )}$,

з многочленами ${\displaystyle F}$ і ${\displaystyle G}$ над ${\displaystyle K}$. Тепер, якщо ${\displaystyle Q}$ є мінімальним многочленом для ${\displaystyle \beta }$ над ${\displaystyle K}$, ми можемо назвати ${\displaystyle Q}$ перетворенням Чірнхауса ${\displaystyle P}$.

Тому множину всіх перетворень Чирнгауса незвідного многочлена слід описувати як множину всіх змін ${\displaystyle P}$, що залишає нерухомим ${\displaystyle L}$. Існує зв’язок із теорією Галуа, коли ${\displaystyle L}$ є розширенням Галуа ${\displaystyle K}$. Тоді групу Галуа можна розглядати як усі перетворення Чирнгауса ${\displaystyle P}$ до самого себе.

Див. також

• Виділення квадрату

Джерела

• Weisstein, Eric W. Tschirnhausen Transformation(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.