Ця стаття має кілька недоліків. Будь ласка, допоможіть удосконалити її або обговоріть ці проблеми на .
|
Функція матриці — функція, яка відображає одну матрицю у другу матрицю.
Приклади
Приклад 1
Нехай — симетрична матриця. Існує така ортогональна матриця
, що перетворення подібності
приводить її до діагональної форми, де на головній діагоналі стоять власні значення матриці, а усі інші елементи матриці — нулі. За допомогою такого перетворення можна отримувати функції від матриць.
Нехай
- аналітична функція в околі точки 0. Тоді, якщо усі власні значення матриці
лежать у цьому околі, можна визначити матрицю
де — симетрична матриця. Скористуймося перетворенням подібності, визначеним вище:
Помноживши ліворуч на матрицю , а праворуч на
, отримаємо
Приклад 2
Нехай задані дві матриці , для кожної з яких відомі матриці перетворення подібності, які переводять кожну з них до діагонального вигляду. Перетворення подібності для їх суми
невідоме, як і факт наявності або відсутності приєднаних векторів, а необхідно знайти матрицю
, не застосовуючи накопичуваної помилки побудови ряду, в якому бере участь багатократне перемноження матриць. Можна знайти окремо матриці
та
. Спробуймо визначити, чи є справедливою рівність
(1)
Використовуючи ряди Тейлора,
де
(2)
називається антикомутатором матриць .
Необхідною умовою виконання рівності (1) є переставність матриць , тобто рівність нулю комутатора (2). Відзначмо, що комутатор є антисиметричним відносно перестановки матриць
.
Можна скористатися цією властивістю для апроксимації оператора у вигляді добутку операторів виду
та
. Розгляньмо добуток
Тут ми скористалися зміною знаку комутатора при перестановці операторів й відкинули член із парним степенем у виразі для помилки апроксимації. Щоб ще раз підвищити порядок апроксимації, треба відкинути член з непарним степенем
оператор при якому складається із суми парної
та непарної
відносно перестановки операторів
та
частин. Для цього розгляньмо добуток
При отримаємо апроксимацію порядку
, складену у вигляді добутку семи експонент операторів
та
.
Таким чином, якщо ми хочемо відкинути черговий парний член апроксимації, необхідно скористатися зміною місць операторів та
у вже отриманій конструкції.
Операторна експонента буде знайденою у точці
,
де .
Див. також
Джерела
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
- Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
- , . Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
- Юнавский А. Д. — Моледирование нелинейного уравнения Шредингера.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет