Правило Руффіні

Правило Руффіні — дієва техніка ділення многочлена на двочлен виду ${\displaystyle x-r}$. У 1804 році її описав Паоло Руффіні. Правило Руффіні є особливим випадком ^[en] коли дільник лінійний.

Алгоритм

Правило встановлює метод для ділення многочленів

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

на біном

${\displaystyle Q(x)=x-r\,\!}$

для отримання многочлена частки

${\displaystyle R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}$;

Насправді алгоритм є діленням стовпчиком P(x) на Q(x).

Для того, щоб поділити P(x) на Q(x):

1. Взяти коефіцієнти P(x) і записати їх по порядку. Потім записати r ліворуч, безпосередньо над лінією:

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &&&&&\\&&&&&\\\end{array}}}$

2. Спустити крайній лівий коефіцієнт (a_n) донизу, одразу під лінію:

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\\\end{array}}}$

3. Помножити крайнє праве число під лінією на r і записати наступним його над лінією:

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\\\end{array}}}$

4. Додати два значення щойно розташованих в одному стовпчику

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{n}&a_{n-1}+(b_{n-1}r)&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\\\end{array}}}$

5. Повторювати кроки 3 і 4 допоки є числа

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{n}&a_{n-1}+(b_{n-1}r)&\cdots &a_{1}+b_{1}r&a_{0}+b_{0}r\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\cdots &=b_{0}&=s\\\end{array}}}$

Числа b і є коефіцієнтами результовного многочлену (R(x)), ступінь якого на одиницю менша ніж степінь P(x). Останнє отримане значення, s, це остача. Як говорить теорема Безу, ця остача дорівнює P(r), значенню многочлена в r.

Використання

Ділення на многочлена на ${\displaystyle x-r}$

Робочий приклад ділення многочленів, як описано вище.

Нехай:

${\displaystyle P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4,}$

${\displaystyle Q(x)=x+1.}$

Ми хочемо знайти ${\displaystyle P(x)/Q(x)}$ використовуючи правило Руффіні. Основна проблема, що ${\displaystyle Q(x)}$ це не біном виду ${\displaystyle x-r,}$ а швидше ${\displaystyle x+r.}$ Ми повинні переписати його так:

${\displaystyle Q(x)=x+1=x-(-1).}$

Тепер застосовуємо алгоритм:

1. Виписуємо коефіцієнти та ${\displaystyle r.}$ Зауважимо, що оскільки ${\displaystyle P(x)}$ не містить коефіцієнта для ${\displaystyle x^{1},}$ ми записали 0:

${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c}&2&3&0&-4\\-1&&&&\\\hline &&&&\\&&&&\\\end{array}}}$

2. Спускаємо перший коефіцієнт:

${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c}&2&3&0&-4\\-1&&&&\\\hline &2&&&\\\end{array}}}$

3. Множимо останнє отримане значення на ${\displaystyle r:}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c}&2&3&0&-4\\-1&&-2&&\\\hline &2&&&\\\end{array}}}$

4. Додаємо значення:

${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c}&2&3&0&-4\\-1&&-2&&\\\hline &2&1&&\\\end{array}}}$

5. Повторюємо кроки 3 і 4 поки не завершимо:

${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c}&2&3&0&-4\\-1&&-2&-1&1\\\hline &2&1&-1&-3\\\end{array}}}$

${\displaystyle 2,1,-1}$ — коефіцієнти результовного многочлену,

${\displaystyle -3}$ — остача.

Отже, якщо початкове число = дільник × частка + остача, тоді

${\displaystyle P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!}$, де

${\displaystyle R(x)=2x^{2}+x-1,\ s=-3;\quad \Rightarrow 2x^{3}+3x^{2}-4=(2x^{2}+x-1)(x+1)-3.}$

Посилання

• Weisstein, Eric W. Правило Руффіні(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Примітки

1. (1911). Horner's method of approximation anticipated by Ruffini (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 17 (8): 389—444.