Мультиплікативна функція

У теорії чисел, мультиплікативна функція — арифметична функція ${\displaystyle f(m)}$, така що

${\displaystyle f(m_{1}m_{2})=f(m_{1})f(m_{2})}$ для будь-яких взаємно простих чисел ${\displaystyle m_{1}}$ і ${\displaystyle m_{2}}$

${\displaystyle f(1)=1}$

При виконанні першої умови, вимога ${\displaystyle f(1)=1}$ рівносильно тому, що функція ${\displaystyle f(m)}$ не рівна тотожно нулю.

Слід зазначити, що поза теорією чисел під мультиплікативною функцією розуміють будь-яку функцію ${\displaystyle f}$, визначену на деякій множині ${\displaystyle X}$, таку що

${\displaystyle f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})}$ для довільних ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$.

У теорії чисел такі функції, тобто функції ${\displaystyle f(m)}$, для яких умова мультиплікативності виконана для всіх натуральних ${\displaystyle m_{1},m_{2}}$, називаються цілком мультиплікативними.

Мультиплікативна функція називається сильно мультиплікативною, якщо

${\displaystyle f(p^{\alpha })=f(p)}$

для всіх простих ${\displaystyle p}$ і всіх натуральних ${\displaystyle \alpha }$.

Приклади

• Функція ${\displaystyle \tau (m)}$ — число натуральних дільників натурального ${\displaystyle m}$.
• Функція ${\displaystyle \sigma (m)}$ — сума натуральних дільників натурального ${\displaystyle m}$.
• Функція Ейлера ${\displaystyle \varphi (m)}$.
• Функція Мебіуса ${\displaystyle \mu (m)}$.
• Функція ${\displaystyle {\frac {\varphi (m)}{m}}}$ є сильно мультиплікативною.
• Степенева функція ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}}$ є цілком мультиплікативною. Зокрема це ж стосується і її важливих часткових випадків
  • константи ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,1(n)=1}$
  • тотожної функції ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\operatorname {Id} (n)=n}$
• ${\displaystyle n\mapsto \left({\frac {n}{p}}\right)}$ — символ Лежандра, як функція від n, при заданому простому числі p.

Властивості

Якщо ${\displaystyle f(m)}$ — мультиплікативна функція, то функція

${\displaystyle g(m)=\sum _{d|m}f(d)}$

також буде мультиплікативною. Навпаки, якщо функція ${\displaystyle g(m)}$, визначена цим співвідношенням є мультиплікативною, то і початкова функція ${\displaystyle f(m)}$ також мультиплікативна.

Більш того, якщо ${\displaystyle f(m)}$ і ${\displaystyle g(m)}$ — мультиплікативні функції, то мультиплікативною буде і їх згортка Діріхле

${\displaystyle h(m)=\sum _{d|m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right)}$

Це випливає з того, що довільне число d, що ділить добуток двох взаємно простих чисел n і m однозначно записується як d=d₁.d₂, де d₁ — дільник числа n, d₂ — дільник числа m. Тоді з визначень можна записати

${\displaystyle (f*g)(n\cdot m)=\sum _{d|nm}f(d)g\left({\frac {nm}{d}}\right)=\sum _{d_{1}|n}\sum _{d_{2}|m}f(d_{1}d_{2})g\left({\frac {n}{d_{1}}}\cdot {\frac {m}{d_{2}}}\right)}$.

Якщо f і g — мультиплікативні функції то :

${\displaystyle (f*g)(n\cdot m)=\sum _{d_{1}|n}\sum _{d_{2}|m}f(d_{1})f(d_{2})g\left({\frac {n}{d_{1}}}\right)g\left({\frac {m}{d_{2}}}\right)}$,

${\displaystyle (f*g)(n.m)=\left[\sum _{d_{1}|n}f(d_{1})g\left({\frac {n}{d_{1}}}\right)\right]\cdot \left[\sum _{d_{2}|m}f(d_{2})g\left({\frac {m}{d_{2}}}\right)\right]}$,

${\displaystyle (f*g)(n\cdot m)=(f*g)(n)\cdot (f*g)(m)}$.

Відносно згортки Діріхле мультиплікативні функції утворюють абелеву групу, нейтральним (одиничним) елементом якої є функція:

${\displaystyle \varepsilon (n)={\begin{cases}1&n=1\\0&n\neq 1\end{cases}}}$

Див. також

• Арифметична функція

Література

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва : Мир, 1987. — 416 с.(рос.)
• Чандрасекхаран К. Арифметические функции, пер. с англ., — М.: «Мир», 1975;