Межа множини

Межа множини — це всі такі точки, які перебувають як завгодно близько і до точок в множині, і до точок поза нею.

Множина (світло-синя) і її межа (темно-синя).

Означення

Нехай є топологічний простір ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ і підмножина ${\displaystyle A\subset X}$. Точка ${\displaystyle x_{0}\in X}$ називається грани́чною точкою підмножини ${\displaystyle A}$, якщо для будь-якого її околу ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}},U\ni x_{0}}$ справедливо:

${\displaystyle U\cap A\neq \emptyset ,\;U\cap A^{\complement }\neq \emptyset .}$

множина всіх граничних точок множини ${\displaystyle A}$ називається межею і позначається ${\displaystyle \partial A.}$

Еквівалентні означення. Межа множини ${\displaystyle A}$ це —

• та частина замикання ${\displaystyle A}$, що не входить в її внутрішність: ${\displaystyle \partial x={\bar {A}}/A^{0}}$
• перетин замикання самої множини ${\displaystyle A}$ та замикання її доповнення ${\displaystyle X/A}$: ${\displaystyle \partial x={\bar {A}}\cap {\overline {X/A}}}$

Примітки

1. (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 20 вересня 2018. Процитовано 19 вересня 2018.{{}}: Обслуговування CS1: Сторінки з текстом «archived copy» як значення параметру title ()

Посилання

• J. R. Munkres (2000). Topology. Prentice-Hall. ISBN .
• S. Willard (1970). General Topology. Addison-Wesley. ISBN .