В геометрії теорема Декарта стверджує, що для будь-яких трьох взаємно дотичних кіл радіуси кіл задовольняють деякому квадратному рівнянню. Розв'язавши це рівняння, можна побудувати четверте коло, що дотикається до інших трьох заданих кіл. Теорему названо на честь Рене Декарта, який сформулював її в 1643 році.
Історія
Геометричні задачі, що стосуються кола, обговорювалися протягом тисячоліть. У стародавній Греції в III столітті до нашої ери Аполлоній Перзький присвятив цілу книгу цій темі. На жаль, книга, яка носила назву Про дотикання, не збереглася, загинувши під час пожежі в Александрійській бібліотеці.
Рене Декарт обговорював задачу коротко в 1643 році в листі до принцесм . Він прийшов до того ж розв'язку, який наведено нижче в рівнянні (1), і тим самим вписав своє ім'я в теорему.
Фредерік Содді повторно відкрив рівняння в 1936 році. Дотичні кола в цій задачі іноді згадуються як кола Содді, можливо тому, що Содді вибрав опублікування своєї версії теореми у вигляді поеми, з назвою The Kiss Precise (Акуратний поцілунок), опублікованої в журналі Nature (20 червня 1936). Содді узагальнив теорему на сфери. Торольд Госсет узагальнив теорему на довільні виміри.
Давніша історія
Точка зору Ігоря Шаригіна: протягом більшої частини періоду Едо (1603-1867) Японія знаходилася майже в повній ізоляції від західного світу і розвивалася своїми шляхами, без впливу західних цивілізацій. Однак це не завадило розвитку японської науки, зокрема математики. Особливо процвітала геометрія. Японці вважали, що мистецтво геометрії завгодно Богу. Нею захоплювалися представники всіх станів, від селян до самураїв. Свої відкриття, теореми вони зображували яскравими кольоровими фарбами на дошках — сангаку — і вивішували при храмах — здебільшого синтоїстських, рідше буддистських — і усипальницях. Ці дошки були одночасно і принесенням шанованому божеству, і «публікацією» автора про зроблене ним красиве відкриття. Словесні пояснення майже відсутні. Автор ніби говорив: «Дивися і, якщо зможеш, доведи!»... Прекрасні задачі та теореми, зібрані в книзі «Японська храмова геометрія» — це своєрідне «числення кіл», «гімн колу». Серед них знаходимо не тільки формулу Содді, але й її узагальнення на тривимірний випадок. Перша згадка про співвідношення між радіусами кіл з'явилася на дошці (сангаку) у 1796 році в Токійській префектурі, повне доведення було опубліковано в 1830-м. Цікаво, що приклад, який показує зв'язок між радіусами п'яти дотичних сфер, було описано на дошці, знайденій там само, а пізніше загубленій, вже в 1785 році. У середині XIX століття в Японії було опубліковано повне доведення «узагальненої формули для п'яти дотичних куль».
Визначення кривини
Теорему Декарта найпростіше сформулювати в термінах кривини кіл. Кривина кола визначається як k = ±1/r, де r — його радіус. Що більше коло, то менша величина його кривини, і навпаки.
Знак плюс в k = ±1/r ставиться, якщо коло має зовнішній дотик до іншого кола, як три чорних кола на малюнку. Для кіл, що дотикаються внутрішньо, як велике червоне коло на малюнку, яке описує інші кола, ставиться знак мінус.
Якщо вважати, що пряма лінія — це вироджене коло з нульовою кривиною (а отже, з нескінченним радіусом), теорема Декарта застосовується також і до прямої і двох кіл, що дотикаються попарно. В цьому випадку теорема дає радіус третього кола, що дотикається до двох інших і прямої.
Якщо чотири кола дотикаються одне з одним у шести різних точках та кола мають кривини ki ( i = 1, ..., 4), теорема Декарта стверджує:
- (1)
Якщо намагатися відшукати радіус четвертого кола, що дотикається до трьох дотичних одне з одним кіл, рівняння краще записати у вигляді:
- (2)
Знак ± відображає факт, що в загальному випадку є два розв'язки. Якщо виключити вироджений випадок прямої лінії, один розв'язок додатний, інший може бути як додатним, так і від'ємним. Якщо розв'язок від'ємний, він представляє коло, що описує перші три (як показано на малюнку).
Особливі випадки
Якщо одне з кіл замінити прямою лінією, то одне з чисел ki, скажімо, k3, буде нульовим і випадає з рівняння (1). Рівняння (2) стає значно простішим:
- (3)
Якщо два кола замінити прямими, дотик між двома колами замінюється паралельністю двох прямих. Два інші кола повинні бути рівні. У цьому випадку, з k2 = k3 = 0, рівняння (2) стає тривіальним
Неможливо замінити три кола прямими, оскільки одне коло і три прямі не можуть дотикатися одне з одним попарно. Теорема Декарта застосовується також для випадку, коли всі чотири кола дотикаються в одній точці.
Ще один спеціальний випадок — коли ki є квадратами,
Ейлер показав, що еквівалентне трійці піфагорових трійок,
і може бути задане параметричне подання. Якщо вибрати від'ємний знак кривини,
рівняння можна подати у вигляді добре відомого параметричного розв'язку,
- ,
де
- .
Комплексна теорема Декарта
Для визначення кола повністю потрібно знати не тільки його радіус (або кривину), але треба ще знати і його центр. Відповідне рівняння найкраще написати, коли координати (x, y) подані у вигляді комплексного числа z = x + iy. Тоді рівняння виглядає подібно до рівняння в теоремі Декарта і тому називається комплексною теоремою Декарта.
Якщо подано чотири кола з кривинами ki і центрами zi (i = 1...4), на додачу до рівності (1) виконується така рівність:
- (4)
Після того, як k4 буде знайдено за допомогою рівності (2), можна почати обчислення z4 шляхом змінювання рівняння (4) до вигляду, схожого на (2):
Знову, в загальному випадку, є два розв'язки для z4, відповідні двом розв'язкам для k4.
Узагальнення
Узагальнення для n-вимірного простору іноді згадується як теорема Содді-Госсе, хоча це зроблено вже в 1886 Лахланом (R. Lachlan). У n-вимірному евклідовому просторі максимальне число взаємно дотичних (n — 1)-вимірних сфер дорівнює n + 2. Наприклад, в 3-вимірному просторі можуть взаємно дотикатися п'ять сфер. Кривини гіперсфер задовольняють рівнянню
і випадок ki = 0 відповідає гіперплощині, так само, як у двовимірному випадку.
Хоча немає 3-вимірних аналогів комплексним числам, зв'язок між розташуванням центрів можна подати у вигляді матричних рівнянь.
Див. також
Примітки
- Василенко А. А. Серенада математике[недоступне посилання з липня 2019] / Математика. Все для учителя! № 9 (21)|вересень 2012, с. 45-46.
- Формулу (1) іноді називають теоремою Содді. Він їй присвятив невелику поему.
- . Архів оригіналу за 17 квітня 2018. Процитовано 14 лютого 2019.
- Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks. . — Т. 109.
Посилання
- Interactive applet demonstrating four mutually tangent circles at cut the knot
- XScreenSaver: Скриншоти:: An XScreenSaver display hack visualizes Descartes' theorem, in hack "Apollonian".
- Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks: Beyond The Descartes Circle Theorem
- Шарыгин В. Ф., Шторгин М. І. Кто открыл формулу Содди? Математика в школе № 3. 1991. С. 31-33
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V geometriyi teorema Dekarta stverdzhuye sho dlya bud yakih troh vzayemno dotichnih kil radiusi kil zadovolnyayut deyakomu kvadratnomu rivnyannyu Rozv yazavshi ce rivnyannya mozhna pobuduvati chetverte kolo sho dotikayetsya do inshih troh zadanih kil Teoremu nazvano na chest Rene Dekarta yakij sformulyuvav yiyi v 1643 roci IstoriyaGeometrichni zadachi sho stosuyutsya kola obgovoryuvalisya protyagom tisyacholit U starodavnij Greciyi v III stolitti do nashoyi eri Apollonij Perzkij prisvyativ cilu knigu cij temi Na zhal kniga yaka nosila nazvu Pro dotikannya ne zbereglasya zaginuvshi pid chas pozhezhi v Aleksandrijskij biblioteci Rene Dekart obgovoryuvav zadachu korotko v 1643 roci v listi do princesm Vin prijshov do togo zh rozv yazku yakij navedeno nizhche v rivnyanni 1 i tim samim vpisav svoye im ya v teoremu Frederik Soddi povtorno vidkriv rivnyannya v 1936 roci Dotichni kola v cij zadachi inodi zgaduyutsya yak kola Soddi mozhlivo tomu sho Soddi vibrav opublikuvannya svoyeyi versiyi teoremi u viglyadi poemi z nazvoyu The Kiss Precise Akuratnij pocilunok opublikovanoyi v zhurnali Nature 20 chervnya 1936 Soddi uzagalniv teoremu na sferi Torold Gosset uzagalniv teoremu na dovilni vimiri Davnisha istoriya Tochka zoru Igorya Sharigina protyagom bilshoyi chastini periodu Edo 1603 1867 Yaponiya znahodilasya majzhe v povnij izolyaciyi vid zahidnogo svitu i rozvivalasya svoyimi shlyahami bez vplivu zahidnih civilizacij Odnak ce ne zavadilo rozvitku yaponskoyi nauki zokrema matematiki Osoblivo procvitala geometriya Yaponci vvazhali sho mistectvo geometriyi zavgodno Bogu Neyu zahoplyuvalisya predstavniki vsih staniv vid selyan do samurayiv Svoyi vidkrittya teoremi voni zobrazhuvali yaskravimi kolorovimi farbami na doshkah sangaku i vivishuvali pri hramah zdebilshogo sintoyistskih ridshe buddistskih i usipalnicyah Ci doshki buli odnochasno i prinesennyam shanovanomu bozhestvu i publikaciyeyu avtora pro zroblene nim krasive vidkrittya Slovesni poyasnennya majzhe vidsutni Avtor nibi govoriv Divisya i yaksho zmozhesh dovedi Prekrasni zadachi ta teoremi zibrani v knizi Yaponska hramova geometriya ce svoyeridne chislennya kil gimn kolu Sered nih znahodimo ne tilki formulu Soddi ale j yiyi uzagalnennya na trivimirnij vipadok Persha zgadka pro spivvidnoshennya mizh radiusami kil z yavilasya na doshci sangaku u 1796 roci v Tokijskij prefekturi povne dovedennya bulo opublikovano v 1830 m Cikavo sho priklad yakij pokazuye zv yazok mizh radiusami p yati dotichnih sfer bulo opisano na doshci znajdenij tam samo a piznishe zagublenij vzhe v 1785 roci U seredini XIX stolittya v Yaponiyi bulo opublikovano povne dovedennya uzagalnenoyi formuli dlya p yati dotichnih kul Viznachennya kriviniDotichni kola Yaksho dano tri vzayemno dotichni kola chorni yakij radius mozhe mati chetverte dotichne kolo V zagalnomu vipadku ye dvi mozhlivi vidpovidi chervoni Teoremu Dekarta najprostishe sformulyuvati v terminah krivini kil Krivina kola viznachayetsya yak k 1 r de r jogo radius Sho bilshe kolo to mensha velichina jogo krivini i navpaki Znak plyus v k 1 r stavitsya yaksho kolo maye zovnishnij dotik do inshogo kola yak tri chornih kola na malyunku Dlya kil sho dotikayutsya vnutrishno yak velike chervone kolo na malyunku yake opisuye inshi kola stavitsya znak minus Yaksho vvazhati sho pryama liniya ce virodzhene kolo z nulovoyu krivinoyu a otzhe z neskinchennim radiusom teorema Dekarta zastosovuyetsya takozh i do pryamoyi i dvoh kil sho dotikayutsya poparno V comu vipadku teorema daye radius tretogo kola sho dotikayetsya do dvoh inshih i pryamoyi Yaksho chotiri kola dotikayutsya odne z odnim u shesti riznih tochkah ta kola mayut krivini ki i 1 4 teorema Dekarta stverdzhuye k 1 k 2 k 3 k 4 2 2 k 1 2 k 2 2 k 3 2 k 4 2 displaystyle k 1 k 2 k 3 k 4 2 2 k 1 2 k 2 2 k 3 2 k 4 2 1 Yaksho namagatisya vidshukati radius chetvertogo kola sho dotikayetsya do troh dotichnih odne z odnim kil rivnyannya krashe zapisati u viglyadi k 4 k 1 k 2 k 3 2 k 1 k 2 k 2 k 3 k 3 k 1 displaystyle k 4 k 1 k 2 k 3 pm 2 sqrt k 1 k 2 k 2 k 3 k 3 k 1 2 Znak vidobrazhaye fakt sho v zagalnomu vipadku ye dva rozv yazki Yaksho viklyuchiti virodzhenij vipadok pryamoyi liniyi odin rozv yazok dodatnij inshij mozhe buti yak dodatnim tak i vid yemnim Yaksho rozv yazok vid yemnij vin predstavlyaye kolo sho opisuye pershi tri yak pokazano na malyunku Osoblivi vipadkiOdne z kil zamineno pryamoyu z nulovoyu krivinoyu Teorema Dekarta zalishayetsya pravilnoyu Tut usi tri kola dotikayutsya odne z odnim v odnij tochci i teorema Dekarta nezastosovna Yaksho odne z kil zaminiti pryamoyu liniyeyu to odne z chisel ki skazhimo k3 bude nulovim i vipadaye z rivnyannya 1 Rivnyannya 2 staye znachno prostishim k 4 k 1 k 2 2 k 1 k 2 displaystyle k 4 k 1 k 2 pm 2 sqrt k 1 k 2 3 Yaksho dva kola zaminiti pryamimi dotik mizh dvoma kolami zaminyuyetsya paralelnistyu dvoh pryamih Dva inshi kola povinni buti rivni U comu vipadku z k2 k3 0 rivnyannya 2 staye trivialnim k 4 k 1 displaystyle displaystyle k 4 k 1 Nemozhlivo zaminiti tri kola pryamimi oskilki odne kolo i tri pryami ne mozhut dotikatisya odne z odnim poparno Teorema Dekarta zastosovuyetsya takozh dlya vipadku koli vsi chotiri kola dotikayutsya v odnij tochci She odin specialnij vipadok koli ki ye kvadratami v 2 x 2 y 2 z 2 2 2 v 4 x 4 y 4 z 4 displaystyle v 2 x 2 y 2 z 2 2 2 v 4 x 4 y 4 z 4 Ejler pokazav sho ekvivalentne trijci pifagorovih trijok 2 v x 2 2 y z 2 v 2 x 2 y 2 z 2 2 displaystyle 2vx 2 2yz 2 v 2 x 2 y 2 z 2 2 2 v y 2 2 x z 2 v 2 x 2 y 2 z 2 2 displaystyle 2vy 2 2xz 2 v 2 x 2 y 2 z 2 2 2 v z 2 2 x y 2 v 2 x 2 y 2 z 2 2 displaystyle 2vz 2 2xy 2 v 2 x 2 y 2 z 2 2 i mozhe buti zadane parametrichne podannya Yaksho vibrati vid yemnij znak krivini v 2 x 2 y 2 z 2 2 2 v 4 x 4 y 4 z 4 displaystyle v 2 x 2 y 2 z 2 2 2 v 4 x 4 y 4 z 4 rivnyannya mozhna podati u viglyadi dobre vidomogo parametrichnogo rozv yazku v x y z 2 a b c d a b c d a 2 b 2 c 2 d 2 a 2 b 2 c 2 d 2 2 a c b d a 2 c 2 2 a c b d b 2 d 2 displaystyle v x y z 2 ab cd ab cd a 2 b 2 c 2 d 2 a 2 b 2 c 2 d 2 2 ac bd a 2 c 2 2 ac bd b 2 d 2 de a 4 b 4 c 4 d 4 displaystyle a 4 b 4 c 4 d 4 Kompleksna teorema DekartaDlya viznachennya kola povnistyu potribno znati ne tilki jogo radius abo krivinu ale treba she znati i jogo centr Vidpovidne rivnyannya najkrashe napisati koli koordinati x y podani u viglyadi kompleksnogo chisla z x iy Todi rivnyannya viglyadaye podibno do rivnyannya v teoremi Dekarta i tomu nazivayetsya kompleksnoyu teoremoyu Dekarta Yaksho podano chotiri kola z krivinami ki i centrami zi i 1 4 na dodachu do rivnosti 1 vikonuyetsya taka rivnist k 1 z 1 k 2 z 2 k 3 z 3 k 4 z 4 2 2 k 1 2 z 1 2 k 2 2 z 2 2 k 3 2 z 3 2 k 4 2 z 4 2 displaystyle k 1 z 1 k 2 z 2 k 3 z 3 k 4 z 4 2 2 k 1 2 z 1 2 k 2 2 z 2 2 k 3 2 z 3 2 k 4 2 z 4 2 4 Pislya togo yak k4 bude znajdeno za dopomogoyu rivnosti 2 mozhna pochati obchislennya z4 shlyahom zminyuvannya rivnyannya 4 do viglyadu shozhogo na 2 z 4 z 1 k 1 z 2 k 2 z 3 k 3 2 k 1 k 2 z 1 z 2 k 2 k 3 z 2 z 3 k 1 k 3 z 1 z 3 k 4 displaystyle z 4 frac z 1 k 1 z 2 k 2 z 3 k 3 pm 2 sqrt k 1 k 2 z 1 z 2 k 2 k 3 z 2 z 3 k 1 k 3 z 1 z 3 k 4 Znovu v zagalnomu vipadku ye dva rozv yazki dlya z4 vidpovidni dvom rozv yazkam dlya k4 UzagalnennyaUzagalnennya dlya n vimirnogo prostoru inodi zgaduyetsya yak teorema Soddi Gosse hocha ce zrobleno vzhe v 1886 Lahlanom R Lachlan U n vimirnomu evklidovomu prostori maksimalne chislo vzayemno dotichnih n 1 vimirnih sfer dorivnyuye n 2 Napriklad v 3 vimirnomu prostori mozhut vzayemno dotikatisya p yat sfer Krivini gipersfer zadovolnyayut rivnyannyu i 1 n 2 k i 2 n i 1 n 2 k i 2 displaystyle left sum i 1 n 2 k i right 2 n sum i 1 n 2 k i 2 i vipadok ki 0 vidpovidaye giperploshini tak samo yak u dvovimirnomu vipadku Hocha nemaye 3 vimirnih analogiv kompleksnim chislam zv yazok mizh roztashuvannyam centriv mozhna podati u viglyadi matrichnih rivnyan Div takozhKrugi Forda Sitka Apolloniya en Dotichna pryama do kola Izoperimetrichna tochkaPrimitkiVasilenko A A Serenada matematike nedostupne posilannya z lipnya 2019 Matematika Vse dlya uchitelya 9 21 veresen 2012 s 45 46 Formulu 1 inodi nazivayut teoremoyu Soddi Vin yij prisvyativ neveliku poemu Arhiv originalu za 17 kvitnya 2018 Procitovano 14 lyutogo 2019 Jeffrey C Lagarias Colin L Mallows Allan R Wilks T 109 PosilannyaInteractive applet demonstrating four mutually tangent circles at cut the knot XScreenSaver Skrinshoti An XScreenSaver display hack visualizes Descartes theorem in hack Apollonian Jeffrey C Lagarias Colin L Mallows Allan R Wilks Beyond The Descartes Circle Theorem Sharygin V F Shtorgin M I Kto otkryl formulu Soddi Matematika v shkole 3 1991 S 31 33