Килим Серпінського

Ки́лим Серпі́нського — це плоский фрактал, вперше описаний Вацлавом Серпінським в 1916 році. Килим є одним із прикладів множини Кантора у двох вимірах (у більших вимірах — ). Серпінський продемонстрував, що цей фрактал є , де будь-який можливий одновимірний граф, спроектований на двовимірну , до підмножини серветки Серпінського. Для кривих, які не можуть бути зображені на двовимірній поверхні без самоперетинань, відповідна універсальна крива — губка Менгера, узагальнення для більших вимірів.

Побудова

Побудова килима Серпінського починається із квадрата. Квадрат розрізається на 9 конгруентних підквадратів, що утворюють сітку три на три, і центральний підквадрат видаляється. Та ж процедура нескінченно рекурсивно застосовується до вісьмох квадратів, що залишилися. На ілюстрації нижче показані перші ітерації процесу побудови.

Килим Серпінського:
Фаза 0	Фаза 1	Фаза 2	Фаза 3	Фаза 4	Фаза 5

• має розмірність Гаусдорфа ${\displaystyle =\ln 8/\ln 3\approx 1{,}8928}$. Як наслідок, міра Лебега дорівнює нулю.

Броунівський рух на килимі Серпінського

Тема броуновського руху на килимі Серпінського в останні роки привернула науковий інтерес. Мартін Барлоу й Річард Басс показали, що випадкове блукання на килимі Серпінського поширюється з меншою швидкістю ніж необмежене випадкове блукання на площині. Для останнього випадку середня відстань пропорційна n^1/2 після «n» кроків, а випадкове блукання на дискретному килимі Серпінського дає середню відстань, пропорційну n^1/β для деякого β > 2. Мартін Барлоу й Річард Басс також показали, що це випадкове блукання задовольняє сильнішим нерівностям (так званим «субгаусовим нерівностям») і задовольняє овальній , при цьому не задовольняючи параболічній. Існування цього прикладу було відкритою проблемою багато років.

Комп'ютерна програма

Наступний Java-аплет малює килим Серпінського за допомогою методу, що рекурсивно викликає себе:

 import java.awt.*; import java.applet.*; public class SierpinskiCarpet extends Applet { private Graphics g=null; private int d0=729; // 3^6 public void init() { g=getGraphics(); resize(d0,d0); } public void paint(Graphics g) { // start recursion: drawSierpinskiCarpet ( 0, 0, getWidth(), getHeight() ); } private void drawSierpinskiCarpet(int xTL, int yTL, int width, int height) { if (width>2 && height>2) { int w=width/3, h=height/3; g.fillRect ( xTL+w, yTL+h, w, h ); for (int k=0;k<9;k++) if (k!=4) { int i=k/3, j=k%3; drawSierpinskiCarpet ( xTL+i*w, yTL+j*h, w, h ); // recursion } } } }

Див. також

• Трикутник Серпінського
• Губка Менгера
• Крива Серпінського

Примітки

1. W. Sierpinski. Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoquet et continue detoute courbe donnée. //Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. - Paris. – Tome 162, Janvier - Juin 1916. - Pp. 629 – 632. - [[https://web.archive.org/web/20210824050957/https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3115n.f631 Архівовано 24 Серпня 2021 у Wayback Machine.]]

Посилання

• Variations on the Theme of Tremas II [ 28 Вересня 2006 у Wayback Machine.]