Теорема Гауса — Люка

Не плутати з теоремою Люка.

Теорема Гаусса — Люка описує геометричну залежність між коренями многочлена p(z) і коренями його похідної на комплексній площині ${\displaystyle \mathbb {C} .}$Теорема стверджує, що корені похідної многочлена лежать в опуклій оболонці коренів самого многочлена. Оскільки ненульовий многочлен має скінченну кількість коренів, то опукла оболонка цих коренів є найменшим опуклим многокутником на комплексній площині, що містить ці корені.

Деякою мірою це твердження є аналогом теореми Ролля для функцій однієї дійсної змінної, яка стверджує, що між двома нулями диференційовної функції знаходиться нуль її похідної.

Твердження

Якщо ${\displaystyle p(z)}$є многочленом із комплексними коефіцієнтами і не є рівним константі, то всі корені многочлена ${\displaystyle p'(z)}$ належать опуклій оболонці коренів многочлена ${\displaystyle P(z)}$.

Доведення

Згідно основної теореми алгебри можна записати

${\displaystyle p(z)=a_{n}(z-z_{1})(z-z_{2})\ldots (z-z_{n})}$,

де ${\displaystyle z_{k}}$ є коренями многочлена (які можуть повторюватися), ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ — коефіцієнт біля ${\displaystyle z^{n}}$. Для такого запису многочлена похідну можна обчислити як:

${\displaystyle p'(z)=a_{n}((z-z_{2})\ldots (z-z_{n})+(z-z_{1})(z-z_{3})\ldots (z-z_{n})+\ldots +(z-z_{1})(z-z_{2})\ldots (z-z_{n-1}))}$.

Поділивши ${\displaystyle p'(z)}$ на ${\displaystyle p(z)}$ одержується рівність

${\displaystyle {\frac {p^{\prime }(z)}{p(z)}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{z-z_{k}}}}$.

Нехай ${\displaystyle w\in \mathbb {C} }$ позначає довільний корінь похідної: ${\displaystyle p'(w)=0}$. Якщо ${\displaystyle w\in \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}$, то він очевидно належить опуклій оболонці цих чисел. Якщо ${\displaystyle w\notin \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}$, то з попередньої рівності:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{w-z_{k}}}=0}$.

Використавши елементарну рівність ${\displaystyle z^{-1}={\overline {z}}/|z|^{2}}$ одержуємо.

${\displaystyle \ \sum _{k=1}^{n}{\frac {{\overline {w}}-{\overline {z_{k}}}}{\vert w-z_{k}\vert ^{2}}}=0}$

або після комплексного спряження

${\displaystyle \ \sum _{k=1}^{n}{\frac {w-z_{k}}{\vert w-z_{k}\vert ^{2}}}=0.}$

Попередню рівність можна переписати як:

${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\vert w-z_{k}\vert ^{2}}}\right)w=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\vert w-z_{k}\vert ^{2}}}z_{k}.}$

Якщо позначити

${\displaystyle t_{k}=\left({\frac {1}{\vert w-z_{k}\vert ^{2}}}\right)/\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{\vert w-z_{j}\vert ^{2}}}\right)}$

то, очевидно, ${\displaystyle t_{1},\ldots t_{n}\in [0,1],\quad \sum _{k=1}^{n}t_{k}=1}$, тобто

${\displaystyle w=\sum _{k=1}^{n}t_{k}z_{k}}$,

Отже, ${\displaystyle w}$ є опуклою комбінацією ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n},}$ що завершує доведення.

Література

• Félix Lucas, Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations, C.R. Hebd. Séances Acad. Sci. LXXXIX (1879), с. 224—226
• Marden, Morris (1966). Geometry of Polynomials. Mathematical Surveys and Monographs. Т. 3. American Mathematical Society. ISBN .
• Rahman, Q. I.; Schmeisser, G. (2002). Analytic theory of polynomials. London Mathematical Society Monographs. New Series. Т. 26. Oxford: Oxford University Press. ISBN . Zbl 1072.30006.
• Sheil-Small, T. (2002). Complex polynomials. Cambridge studies in advanced mathematics. Т. 75. Cambridge University Press. ISBN .