Нотація Ландау

Нотація Ландау — поширена математична нотація для формального запису асимптотичної поведінки функцій. Широко вживається в теорії складності обчислень, інформатиці та математиці.

Приклад використання нотації О-велике: ${\displaystyle {\color {red}f(x)}\in O{\color {blue}(g(x))}}$, бо існують ${\displaystyle L>0}$ (наприклад, ${\displaystyle L=1}$) та ${\displaystyle x_{0}}$ (наприклад, ${\displaystyle x_{0}=5}$), такі, що ${\displaystyle {\color {red}f(x)}\leqslant {\color {blue}Lg(x)}}$ для кожного ${\displaystyle x\geqslant x_{0}}$.

Названа нотацією Ландау на честь німецького математика Едмунда Ландау, який популяризував цю нотацію.

Відношення «O»

Означення для функцій дійсного (комплексного) аргументу

Через ${\displaystyle \mathbb {K} }$ позначимо ${\displaystyle \mathbb {R} }$ або ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Нехай ${\displaystyle A\subset \mathbb {K} }$, ${\displaystyle f,g:A\to \mathbb {K} }$ і ${\displaystyle x_{0}}$ — гранична точка множини ${\displaystyle A}$. Через ${\displaystyle B(x_{0},\delta )}$ позначимо ${\displaystyle \delta }$-окіл точки ${\displaystyle x_{0}}$.

Функція ${\displaystyle f}$ називається підпорядкованою функції ${\displaystyle g}$ при ${\displaystyle x\to x_{0}}$, якщо існують дійсні додатні числа ${\displaystyle L}$ та ${\displaystyle \delta }$ такі, що для довільного ${\displaystyle x\in A\cap B(x_{0},\delta )\setminus \{x_{0}\}}$ виконується нерівність ${\displaystyle |f(x)|\leqslant L|g(x)|.}$

Для ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ функція ${\displaystyle f}$ називається підпорядкованою функції ${\displaystyle g}$ при ${\displaystyle x\to +\infty }$, якщо існують дійсне додатнє число ${\displaystyle L}$ і дійсне ${\displaystyle C}$ такі, що для довільного ${\displaystyle x\in A\cap (C,+\infty )}$ виконується нерівність ${\displaystyle |f(x)|\leqslant L|g(x)|.}$

Для ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$ функція ${\displaystyle f}$ називається підпорядкованою функції ${\displaystyle g}$ при ${\displaystyle x\to \infty }$, якщо існують дійсне додатнє число ${\displaystyle L}$ і дійсне ${\displaystyle C}$ такі, що для довільного ${\displaystyle x\in A\cap \{z\in \mathbb {C} \mid |z|>C\}}$ виконується нерівність ${\displaystyle |f(x)|\leqslant L|g(x)|.}$

Позначення: ${\displaystyle f(x)=O(g(x))}$, ${\displaystyle x\to x_{0}}$ або ${\displaystyle f=O(g)}$, ${\displaystyle x\to x_{0}}$.

Означення для функцій цілого невід'ємного аргументу

Нехай ${\displaystyle f,g:\mathbb {N} \cup \{0\}\to \mathbb {R} _{+}}$. Функція ${\displaystyle f}$ називається підпорядкованою функції ${\displaystyle g}$ якщо існують додатнє дійсне число ${\displaystyle C}$ і натуральне ${\displaystyle n_{0}}$ такі, що для довільного ${\displaystyle n\geqslant n_{0}}$ виконується нерівність ${\displaystyle f(n)\leqslant Cg(n).}$

Позначення: ${\displaystyle f(n)=O(g(n))}$ або ${\displaystyle f=O(g)}$.

Також кажуть, що «${\displaystyle f}$ зростає не швидше ніж ${\displaystyle g}$» або «${\displaystyle g}$ є асимптотичною верхньою оцінкою ${\displaystyle f}$».

Властивості

1. ${\displaystyle C\cdot f=O(f),x\to x_{0}}$ для довільного ${\displaystyle C\in \mathbb {K} .}$
2. ${\displaystyle C=O(1)}$ для довільного ${\displaystyle C\in \mathbb {K} .}$
3. Якщо ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|\in \mathbb {R} }$, то ${\displaystyle f=O(g),x\to x_{0}.}$
4. Якщо ${\displaystyle f=O(h),x\to x_{0}}$ і ${\displaystyle g=O(h),x\to x_{0}}$, то ${\displaystyle f+g=O(h),x\to x_{0}.}$
5. Якщо ${\displaystyle f=O(g),x\to x_{0},}$ то ${\displaystyle f+g=O(g),x\to x_{0}.}$
6. Якщо ${\displaystyle f_{1}=O(g_{1}),x\to x_{0}}$ і ${\displaystyle f_{2}=O(g_{2}),x\to x_{0},}$ то ${\displaystyle f_{1}\cdot f_{2}=O(g_{1}\cdot g_{2}),x\to x_{0}.}$
7. Якщо ${\displaystyle f_{1}=O(g_{1}),x\to x_{0}}$ і ${\displaystyle f_{2}=O(g_{2}),x\to x_{0},}$ то ${\displaystyle f_{1}+f_{2}=O(\max(g_{1},g_{2})),x\to x_{0}.}$
8. Якщо ${\displaystyle f=O(g),x\to x_{0}}$ і ${\displaystyle g=O(h),x\to x_{0},}$ то ${\displaystyle f=O(h),x\to x_{0}.}$ (транзитивність)

Відношення «Ω»

Означення для функцій дійсного (комплексного) аргументу

Через ${\displaystyle \mathbb {K} }$ позначимо ${\displaystyle \mathbb {R} }$ або ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Нехай ${\displaystyle A\subset \mathbb {K} }$, ${\displaystyle f,g:A\to \mathbb {K} }$ і ${\displaystyle x_{0}}$ — гранична точка множини ${\displaystyle A}$. Через ${\displaystyle B(x_{0},\delta )}$ позначимо ${\displaystyle \delta }$-окіл точки ${\displaystyle x_{0}}$.

Кажуть, що функція ${\displaystyle f}$ підпорядковує функцію ${\displaystyle g}$ при ${\displaystyle x\to x_{0}}$, якщо існують дійсні додатні числа ${\displaystyle L}$ та ${\displaystyle \delta }$ такі, що для довільного ${\displaystyle x\in A\cap B(x_{0},\delta )\setminus \{x_{0}\}}$ виконується нерівність ${\displaystyle |f(x)|\geqslant L|g(x)|.}$

Для ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ кажуть, що функція ${\displaystyle f}$ підпорядковує функцію ${\displaystyle g}$ при ${\displaystyle x\to +\infty }$, якщо існують дійсне додатнє число ${\displaystyle L}$ і дійсне ${\displaystyle C}$ такі, що для довільного ${\displaystyle x\in A\cap (C,+\infty )}$ виконується нерівність ${\displaystyle |f(x)|\geqslant L|g(x)|.}$

Для ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$ кажуть, що функція ${\displaystyle f}$ підпорядковує функцію ${\displaystyle g}$ при ${\displaystyle x\to \infty }$, якщо існують дійсне додатнє число ${\displaystyle L}$ і дійсне ${\displaystyle C}$ такі, що для довільного ${\displaystyle x\in A\cap \{z\in \mathbb {C} \mid |z|>C\}}$ виконується нерівність ${\displaystyle |f(x)|\geqslant L|g(x)|.}$

Позначення: ${\displaystyle f(x)=\Omega (g(x))}$, ${\displaystyle x\to x_{0}}$ або ${\displaystyle f=\Omega (g)}$, ${\displaystyle x\to x_{0}}$.

Означення для функцій цілого невід'ємного аргументу

Нехай ${\displaystyle f,g:\mathbb {N} \cup \{0\}\to \mathbb {R} _{+}}$. Кажуть, що функція ${\displaystyle f}$ підпорядковує функцію ${\displaystyle g}$ якщо існують додатнє дійсне число ${\displaystyle C}$ і натуральне ${\displaystyle n_{0}}$ такі, що для довільного ${\displaystyle n\geqslant n_{0}}$ виконується нерівність ${\displaystyle f(n)\geqslant Cg(n).}$

Позначення: ${\displaystyle f(n)=\Omega (g(n))}$ або ${\displaystyle f=\Omega (g)}$.

Також кажуть, що «${\displaystyle f}$ зростає не повільніше ніж ${\displaystyle g}$» або «${\displaystyle g}$ є асимптотичною нижньою оцінкою ${\displaystyle f}$».

Властивості

1. ${\displaystyle g=O(f),x\to x_{0}}$ тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle f=\Omega (g),x\to x_{0}.}$
2. ${\displaystyle C\cdot f=\Omega (f),x\to x_{0}}$ для довільного ${\displaystyle C\in \mathbb {K} \setminus \{0\}.}$
3. ${\displaystyle C=\Omega (1)}$ для довільного ${\displaystyle C\in \mathbb {K} \setminus \{0\}.}$
4. Якщо ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}\left|{\frac {g(x)}{f(x)}}\right|\in \mathbb {R} }$, то ${\displaystyle f=\Omega (g),x\to x_{0}.}$
5. Якщо ${\displaystyle f=\Omega (h),x\to x_{0}}$ і ${\displaystyle g=\Omega (h),x\to x_{0}}$, то ${\displaystyle f+g=\Omega (h),x\to x_{0}.}$
6. Якщо ${\displaystyle f=\Omega (g),x\to x_{0},}$ то ${\displaystyle f+g=\Omega (g),x\to x_{0}.}$
7. Якщо ${\displaystyle f_{1}=\Omega (g_{1}),x\to x_{0}}$ і ${\displaystyle f_{2}=\Omega (g_{2}),x\to x_{0},}$ то ${\displaystyle f_{1}\cdot f_{2}=\Omega (g_{1}\cdot g_{2}),x\to x_{0}.}$
8. Якщо ${\displaystyle f_{1}=\Omega (g_{1}),x\to x_{0}}$ і ${\displaystyle f_{2}=\Omega (g_{2}),x\to x_{0},}$ то ${\displaystyle |f_{1}|+|f_{2}|=\Omega (\min(g_{1},g_{2})),x\to x_{0}.}$
9. Якщо ${\displaystyle f=\Omega (g),x\to x_{0}}$ і ${\displaystyle g=\Omega (h),x\to x_{0},}$ то ${\displaystyle f=\Omega (h),x\to x_{0}.}$ (транзитивність)

Відношення «Θ»

Означення для функцій дійсного (комплексного) аргументу

Через ${\displaystyle \mathbb {K} }$ позначимо ${\displaystyle \mathbb {R} }$ або ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Нехай ${\displaystyle A\subset \mathbb {K} }$, ${\displaystyle f,g:A\to \mathbb {K} }$ і ${\displaystyle x_{0}}$ — гранична точка множини ${\displaystyle A}$. Через ${\displaystyle B(x_{0},\delta )}$ позначимо ${\displaystyle \delta }$-окіл точки ${\displaystyle x_{0}}$.

Функція ${\displaystyle g}$ називається асимптотичною точною оцінкою функції ${\displaystyle f}$ при ${\displaystyle x\to x_{0}}$, якщо існують дійсні додатні числа ${\displaystyle L_{1},}$ ${\displaystyle L_{2}}$ та ${\displaystyle \delta }$ такі, що для довільного ${\displaystyle x\in A\cap B(x_{0},\delta )\setminus \{x_{0}\}}$ виконується нерівність ${\displaystyle L_{1}|g(x)|\leqslant |f(x)|\leqslant L_{2}|g(x)|.}$

Для ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ функція ${\displaystyle g}$ називається асимптотичною точною оцінкою функції ${\displaystyle f}$ при ${\displaystyle x\to +\infty }$, якщо існують дійсні додатні числа ${\displaystyle L_{1},}$ ${\displaystyle L_{2}}$ і дійсне ${\displaystyle C}$ такі, що для довільного ${\displaystyle x\in A\cap (C,+\infty )}$ виконується нерівність ${\displaystyle L_{1}|g(x)|\leqslant |f(x)|\leqslant L_{2}|g(x)|.}$

Для ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$ функція ${\displaystyle g}$ називається асимптотичною точною оцінкою функції ${\displaystyle f}$ при ${\displaystyle x\to \infty }$, якщо існують дійсні додатні числа ${\displaystyle L_{1},}$ ${\displaystyle L_{2}}$ і дійсне ${\displaystyle C}$ такі, що для довільного ${\displaystyle x\in A\cap \{z\in \mathbb {C} \mid |z|>C\}}$ виконується нерівність ${\displaystyle L_{1}|g(x)|\leqslant |f(x)|\leqslant L_{2}|g(x)|.}$

Позначення: ${\displaystyle f(x)=\Theta (g(x))}$, ${\displaystyle x\to x_{0}}$ або ${\displaystyle f=\Theta (g)}$, ${\displaystyle x\to x_{0}}$.

Означення для функцій цілого невід'ємного аргументу

Нехай ${\displaystyle f,g:\mathbb {N} \cup \{0\}\to \mathbb {R} _{+}}$. Функція ${\displaystyle g}$ називається асимптотичною точною оцінкою функції ${\displaystyle f}$ якщо існують дійсні додатні числа ${\displaystyle C_{1},}$ ${\displaystyle C_{2}}$ і натуральне ${\displaystyle n_{0}}$ такі, що для довільного ${\displaystyle n\geqslant n_{0}}$ виконується нерівність ${\displaystyle C_{1}g(n)\leqslant f(n)\leqslant C_{2}g(n).}$

Позначення: ${\displaystyle f(n)=\Theta (g(n))}$ або ${\displaystyle f=\Theta (g)}$.

Властивості

1. ${\displaystyle f=\Theta (g),x\to x_{0}}$ тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle f=O(g),x\to x_{0}}$ і ${\displaystyle g=\Omega (f),x\to x_{0}.}$
2. ${\displaystyle f=\Theta (g),x\to x_{0}}$ тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle g=\Theta (f),x\to x_{0}.}$

Відношення «o»

Означення для функцій дійсного (комплексного) аргументу

Через ${\displaystyle \mathbb {K} }$ позначимо ${\displaystyle \mathbb {R} }$ або ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Нехай ${\displaystyle A\subset \mathbb {K} }$, ${\displaystyle f,g:A\to \mathbb {K} }$ і ${\displaystyle x_{0}}$ — гранична точка множини ${\displaystyle A}$. Через ${\displaystyle B(x_{0},\delta )}$ позначимо ${\displaystyle \delta }$-окіл точки ${\displaystyle x_{0}}$.

Функція ${\displaystyle f}$ називається знехтуваною у порівнянні з функцією ${\displaystyle g}$ при ${\displaystyle x\to x_{0},}$ якщо для довільного додатнього ${\displaystyle \varepsilon }$ існує додатнє ${\displaystyle \delta }$ таке, що для довільного ${\displaystyle x\in A\cap B(x_{0},\delta )\setminus \{x_{0}\}}$ виконується нерівність ${\displaystyle |f(x)|\leqslant \varepsilon |g(x)|.}$

Для ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ функція ${\displaystyle f}$ називається знехтуваною у порівнянні з функцією ${\displaystyle g}$ при ${\displaystyle x\to +\infty }$, якщо для довільного додатнього ${\displaystyle \varepsilon }$ існує додатнє ${\displaystyle C}$ таке, що для довільного ${\displaystyle x\in A\cap (C,+\infty )}$ виконується нерівність ${\displaystyle |f(x)|\leqslant \varepsilon |g(x)|.}$

Для ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$ функція ${\displaystyle f}$ називається знехтуваною у порівнянні з функцією ${\displaystyle g}$ при ${\displaystyle x\to \infty }$, якщо для довільного додатнього ${\displaystyle \varepsilon }$ існує додатнє ${\displaystyle C}$ таке, що для довільного ${\displaystyle x\in A\cap \{z\in \mathbb {C} \mid |z|>C\}}$ виконується нерівність ${\displaystyle |f(x)|\leqslant \varepsilon |g(x)|.}$

Позначення: ${\displaystyle f(x)=o(g(x))}$ або ${\displaystyle f=o(g).}$

Означення для функцій цілого невід'ємного аргументу

Нехай ${\displaystyle f,g:\mathbb {N} \cup \{0\}\to \mathbb {R} _{+}}$. Функція ${\displaystyle f}$ називається знехтуваною у порівнянні з функцією ${\displaystyle g}$, якщо для довільного додатнього ${\displaystyle C}$ існує натуральне ${\displaystyle n_{0}}$ таке, що для довільного ${\displaystyle n\geqslant n_{0}}$ виконується нерівність ${\displaystyle f(n)\leqslant Cg(n).}$

Властивості

1. ${\displaystyle f=o(g),x\to x_{0}}$ тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0.}$
2. Якщо ${\displaystyle f=o(g),x\to x_{0},}$ то ${\displaystyle f=O(g),x\to x_{0}.}$
3. Якщо ${\displaystyle f=o(g),x\to x_{0}}$ і ${\displaystyle g=O(h),x\to x_{0},}$ то ${\displaystyle f=o(h),x\to x_{0}.}$ Таким чином, ${\displaystyle o(O(h))=o(h),x\to x_{0}.}$ Аналогічно ${\displaystyle O(o(h))=o(h),x\to x_{0}.}$
4. Якщо ${\displaystyle f_{1}=o(g),x\to x_{0}}$ і ${\displaystyle f_{2}=o(g),x\to x_{0},}$ то ${\displaystyle f_{1}+f_{2}=o(g),x\to x_{0}.}$
5. Якщо ${\displaystyle f_{1}=o(g_{1}),x\to x_{0}}$ і ${\displaystyle f_{2}=O(g_{2}),x\to x_{0},}$ то ${\displaystyle f_{1}\cdot f_{2}=o(g_{1}\cdot g_{2}),x\to x_{0}.}$
6. Якщо ${\displaystyle f=o(g),x\to x_{0}}$ і ${\displaystyle g=o(h),x\to x_{0},}$ то ${\displaystyle f=o(h),x\to x_{0}.}$ (транзитивність)

Відношення «ω»

Означення для функцій дійсного (комплексного) аргументу

Через ${\displaystyle \mathbb {K} }$ позначимо ${\displaystyle \mathbb {R} }$ або ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Нехай ${\displaystyle A\subset \mathbb {K} }$, ${\displaystyle f,g:A\to \mathbb {K} }$ і ${\displaystyle x_{0}}$ — гранична точка множини ${\displaystyle A}$. Через ${\displaystyle B(x_{0},\delta )}$ позначимо ${\displaystyle \delta }$-окіл точки ${\displaystyle x_{0}}$.

Функція ${\displaystyle f}$ називається домінуючою у порівнянні з функцією ${\displaystyle g}$ при ${\displaystyle x\to x_{0},}$ якщо для довільного додатнього ${\displaystyle \varepsilon }$ існує додатнє ${\displaystyle \delta }$ таке, що для довільного ${\displaystyle x\in A\cap B(x_{0},\delta )\setminus \{x_{0}\}}$ виконується нерівність ${\displaystyle |f(x)|\geqslant \varepsilon |g(x)|.}$

Для ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ функція ${\displaystyle f}$ називається домінуючою у порівнянні з функцією ${\displaystyle g}$ при ${\displaystyle x\to +\infty }$, якщо для довільного додатнього ${\displaystyle \varepsilon }$ існує додатнє ${\displaystyle C}$ таке, що для довільного ${\displaystyle x\in A\cap (C,+\infty )}$ виконується нерівність ${\displaystyle |f(x)|\geqslant \varepsilon |g(x)|.}$

Для ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$ функція ${\displaystyle f}$ називається домінуючою у порівнянні з функцією ${\displaystyle g}$ при ${\displaystyle x\to \infty }$, якщо для довільного додатнього ${\displaystyle \varepsilon }$ існує додатнє ${\displaystyle C}$ таке, що для довільного ${\displaystyle x\in A\cap \{z\in \mathbb {C} \mid |z|>C\}}$ виконується нерівність ${\displaystyle |f(x)|\geqslant \varepsilon |g(x)|.}$

Позначення: ${\displaystyle f(x)=\omega (g(x))}$ або ${\displaystyle f=\omega (g).}$

Означення для функцій цілого невід'ємного аргументу

Нехай ${\displaystyle f,g:\mathbb {N} \cup \{0\}\to \mathbb {R} _{+}}$. Функція ${\displaystyle f}$ називається домінуючою у порівнянні з функцією ${\displaystyle g}$, якщо для довільного додатнього ${\displaystyle C}$ існує натуральне ${\displaystyle n_{0}}$ таке, що для довільного ${\displaystyle n\geqslant n_{0}}$ виконується нерівність ${\displaystyle f(n)\geqslant Cg(n).}$

Властивості

1. ${\displaystyle g=o(f),x\to x_{0}}$ тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle f=\omega (g),x\to x_{0}.}$
2. ${\displaystyle f=\omega (g),x\to x_{0}}$ тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|=+\infty .}$
3. Якщо ${\displaystyle f=\omega (g),x\to x_{0},}$ то ${\displaystyle f=\Omega (g),x\to x_{0}.}$
4. Якщо ${\displaystyle f=\omega (g),x\to x_{0}}$ і ${\displaystyle g=\Omega (h),x\to x_{0},}$ то ${\displaystyle f=\omega (h),x\to x_{0}.}$ Таким чином, ${\displaystyle \omega (\Omega (h))=\omega (h),x\to x_{0}.}$ Аналогічно ${\displaystyle \Omega (\omega (h))=\omega (h),x\to x_{0}.}$
5. Якщо ${\displaystyle f_{1}=\omega (g),x\to x_{0}}$ і ${\displaystyle f_{2}=\omega (g),x\to x_{0},}$ то ${\displaystyle f_{1}+f_{2}=\omega (g),x\to x_{0}.}$
6. Якщо ${\displaystyle f_{1}=\omega (g_{1}),x\to x_{0}}$ і ${\displaystyle f_{2}=\Omega (g_{2}),x\to x_{0},}$ то ${\displaystyle f_{1}\cdot f_{2}=\omega (g_{1}\cdot g_{2}),x\to x_{0}.}$
7. Якщо ${\displaystyle f=\omega (g),x\to x_{0}}$ і ${\displaystyle g=\omega (h),x\to x_{0},}$ то ${\displaystyle f=\omega (h),x\to x_{0}.}$ (транзитивність)

Відношення еквівалентності функцій

Через ${\displaystyle \mathbb {K} }$ позначимо ${\displaystyle \mathbb {R} }$ або ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Нехай ${\displaystyle A\subset \mathbb {K} }$, ${\displaystyle f,g:A\to \mathbb {K} }$ і ${\displaystyle x_{0}}$ — гранична точка множини ${\displaystyle A}$.

Функції ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ називаються еквівалентними при ${\displaystyle x\to x_{0},}$ якщо ${\displaystyle f-g=o(f),x\to x_{0}.}$

Означення для функцій цілого невід'ємного аргументу аналогічне.

Позначення: ${\displaystyle f(x)\sim g(x),x\to x_{0}}$ або ${\displaystyle f\sim g,x\to x_{0}.}$

Властивості

1. Відношення ${\displaystyle \sim }$ є відношенням еквівалентності на множині функцій.
2. Нехай для всіх ${\displaystyle x\in A\setminus \{x_{0}\}}$ ${\displaystyle g(x)\neq 0.}$ Тоді ${\displaystyle f\sim g,x\to x_{0}}$ тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.}$
3. Якщо ${\displaystyle f_{1}\sim g_{1},x\to x_{0}}$ і ${\displaystyle f_{2}\sim g_{2},x\to x_{0},}$ то ${\displaystyle f_{1}\cdot f_{2}\sim g_{1}\cdot g_{2},x\to x_{0}.}$
4. Нехай для всіх ${\displaystyle x\in A\setminus \{x_{0}\}\,}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$, ${\displaystyle g(x)\neq 0}$ і ${\displaystyle f\sim g,x\to x_{0}.}$ Тоді для будь-якої функції ${\displaystyle h:\,A\to \mathbb {K} }$ з існування однієї з границь

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)\cdot h(x))}$, ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(g(x)\cdot h(x))}$

випливає існування другої границі і їх рівність.

Аналогічно з існування однієї з границь

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{h(x)}}}$, ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)}{h(x)}}}$

випливає існування другої і їх рівність.

Приклади

Приклад 1: Нехай ${\displaystyle f(x)=2x^{5}-6x^{2}-15}$, ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ і ${\displaystyle x_{0}=+\infty }$. Маємо:

${\displaystyle {\begin{aligned}|2x^{5}-6x^{2}-15|&\leqslant 2|x^{5}|+6x^{2}+15\\&\leqslant 15|x^{5}|+15|x^{5}|+15|x^{5}|\\&=45|x^{5}|,\end{aligned}}}$

тобто ${\displaystyle L=45}$ і ця нерівність виконується для всіх ${\displaystyle x\in (1,+\infty ).}$

Звідси ${\displaystyle f(x)=O(x^{5}),x\to +\infty .}$

${\displaystyle |2x^{5}-6x^{2}-15|\geqslant 2|x^{5}|}$, тут ${\displaystyle L=2}$ і ${\displaystyle x\in (2.2,+\infty ).}$ Звідси ${\displaystyle f(x)=\Omega (x^{5}),x\to +\infty .}$

Отже, ${\displaystyle f(x)=\Theta (x^{5}),x\to +\infty .}$

Приклад 2: Нехай ${\displaystyle n}$ і ${\displaystyle m}$ цілі числа, ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$. Якщо ${\displaystyle n\geqslant m}$, то ${\displaystyle z^{m}=O(z^{n})}$ при ${\displaystyle z\to \infty }$. Для доведення цього запишемо

${\displaystyle |z^{m}|=|z^{m-n}z^{n}|=|z^{m-n}|\cdot |z^{n}|=|z|^{m-n}\cdot |z^{n}|}$

Покладемо ${\displaystyle \delta =10}$. Тоді ${\displaystyle |z|>\delta }$ означає що ${\displaystyle |z|^{m-n}\leqslant 10^{m-n}}$, оскільки ${\displaystyle n\geqslant m}$. Отже, якщо ${\displaystyle |z|>10}$