Перетворення Хаусхолдера (оператор Хаусхолдера) — лінійне перетворення векторного простору , що описує його віддзеркалення (симетрію) щодо гіперплощини, яка проходить через початок координат.
Було запропоноване в 1958 американським математиком Елстоном Скотом Хаусхолдером.
Застосовується в лінійній алгебрі для QR-розкладу матриці.
Визначення
Якщо гіперплощина описується одиничним вектором , що є ортогональним до неї; та
— скалярний добуток в
, тоді
— оператор Хаусхолдера.
Матриця Хаусхолдера має вигляд:
Властивості
- Матриця Хаусхолдера є ермітовою:
- Матриця Хаусхолдера є унітарною:
- Отже вона є інволюцією:
.
- Перетворення
відображає точку
в точку
- Матриця Хаусхолдера має одне власне значення рівне -1, що відповідає власному вектору
, усі інші власні значення дорівнюють (+1).
- Визначник матриці Хаусхолдера дорівнює -1.
- Перетворення Хаусхолдера в метричному просторі зберігає відстані[].
Див. також
Джерела
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
- Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
- , . Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
- Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339-342. DOI:10.1145/320941.320947
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет