В проєктивній геометрії теорема Дезарга, названа на честь Жерара Дезарга, стверджує: в проєктивному просторі два трикутники перспективно осьові тоді і тільки тоді, якщо вони перспективно центральні.
Позначимо три вершини одного трикутника (меншого розміру) a, b і c а іншого (більший) A, B і C.
Осьова перспектива є тоді і тільки тоді, якщо точки перетину ab і AB, bc і BC, ac і AC — розміщені на одній прямій, яка називається вісь перспективи.
Центральна перспектива є тоді і тільки тоді, якщо три лінії Aa, Bb і Cc — конкурентні в точці, яка називається центр перспективи.
Формулювання
Якщо два трикутники розташовані на площині так, що прямі, які з'єднують відповідні вершини трикутників, проходять через одну точку, то три точки, в яких перетинаються продовження трьох пар відповідних сторін трикутників, лежать на одній прямій.
Обернене також істинне:
Якщо два трикутники розташовані на площині так, що три точки, в яких перетинаються продовження трьох пар відповідних сторін трикутників, лежать на одній прямій, то прямі, які з'єднують відповідні вершини трикутників, проходять через одну точку.
Зауваження
- Ці дві теореми є двоїстими одна для одної, і іноді їх об'єднують у єдину теорему, яка формулюється так: «Два трикутники мають центр перспективи тоді й лише тоді, коли вони мають вісь перспективи».
- Теорема Дезарга виконується не у всіх проєктивних площинах. Площини, в яких теорема виконується, називають дезарговими. Наприклад, дійсна проєктивна площина — дезаргова, а — недезаргова.
Історія
Дезарг ніколи не публікував цю теорему, але вона з'явилася в додатку під назвою Універсальний метод М. Дезарга для використання перспективи (Maniére universelle de M. Desargues pour practiquer la perspective) у практичному підручнику по використанню перспективи, опублікованому в 1648 його другом і учнем Авраамом Боссе (1602—1676).
Див. також
Джерела
- Теорема Дезаргана сайті MathWorld(англ.)
Примітки
- Тобто точку, в якій перетинаються три прямі, що проходять через пари відповідних вершин.
- Тобто пряму, на якій перетинаються прямі, що містять відповідні сторони.
- Smith, (1959, pg.307)
- Katz, (1998, pg.461)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V proyektivnij geometriyi teorema Dezarga nazvana na chest Zherara Dezarga stverdzhuye v proyektivnomu prostori dva trikutniki perspektivno osovi todi i tilki todi yaksho voni perspektivno centralni Na malyunku dva perspektivni trikutniki Vidpovidni storoni trikutnika pislya prodovzhennya peretinayutsya v tochkah yaki lezhat na pryamij sho nazivayetsya visyu perspektivi Pryami provedeni cherez vidpovidni vershini trikutnikiv peretinayutsya v tochci yaka nazivayetsya centrom perspektivi Teorema Dezarga stverdzhuye sho persha umova ye neobhidnoyu i dostatnoyu dlya drugoyi umovi Poznachimo tri vershini odnogo trikutnika menshogo rozmiru a b i c a inshogo bilshij A B i C Osova perspektiva ye todi i tilki todi yaksho tochki peretinu ab i AB bc i BC ac i AC rozmisheni na odnij pryamij yaka nazivayetsya vis perspektivi Centralna perspektiva ye todi i tilki todi yaksho tri liniyi Aa Bb i Cc konkurentni v tochci yaka nazivayetsya centr perspektivi FormulyuvannyaYaksho dva trikutniki roztashovani na ploshini tak sho pryami yaki z yednuyut vidpovidni vershini trikutnikiv prohodyat cherez odnu tochku to tri tochki v yakih peretinayutsya prodovzhennya troh par vidpovidnih storin trikutnikiv lezhat na odnij pryamij Obernene takozh istinne Yaksho dva trikutniki roztashovani na ploshini tak sho tri tochki v yakih peretinayutsya prodovzhennya troh par vidpovidnih storin trikutnikiv lezhat na odnij pryamij to pryami yaki z yednuyut vidpovidni vershini trikutnikiv prohodyat cherez odnu tochku Zauvazhennya Ci dvi teoremi ye dvoyistimi odna dlya odnoyi i inodi yih ob yednuyut u yedinu teoremu yaka formulyuyetsya tak Dva trikutniki mayut centr perspektivi todi j lishe todi koli voni mayut vis perspektivi Teorema Dezarga vikonuyetsya ne u vsih proyektivnih ploshinah Ploshini v yakih teorema vikonuyetsya nazivayut dezargovimi Napriklad dijsna proyektivna ploshina dezargova a nedezargova IstoriyaDezarg nikoli ne publikuvav cyu teoremu ale vona z yavilasya v dodatku pid nazvoyu Universalnij metod M Dezarga dlya vikoristannya perspektivi Maniere universelle de M Desargues pour practiquer la perspective u praktichnomu pidruchniku po vikoristannyu perspektivi opublikovanomu v 1648 jogo drugom i uchnem Avraamom Bosse 1602 1676 Div takozhTeorema MonzheDzherelaTeorema Dezargana sajti MathWorld angl PrimitkiTobto tochku v yakij peretinayutsya tri pryami sho prohodyat cherez pari vidpovidnih vershin Tobto pryamu na yakij peretinayutsya pryami sho mistyat vidpovidni storoni Smith 1959 pg 307 Katz 1998 pg 461